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envisagé au théorème II. h„ se trouvera construite. Le choix de •/)„ parmi 

 les Y), n'a aucune influence sur le résultat. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes des isomorphismes . 

 Note de M. G. -A. Miller, présentée par M. Jordan. 



« Dans une Note antérieure ('), j'ai donné quelques résultats sur les 

 groupes des isomorphismes cogrédients. La présente Note sera consacrée 

 principalement aux groupes des isomorphismes (-). Si un groupe G d'ordre o- 

 est abélien, on peut établir un isomorphisme holoédrique de G à lui-même 

 en faisant chaque opération de G correspondre à sa puissance a (a étant un 

 nombre quelconque premieràg). Delàsuitque le groupe d'isomorphismes 

 de tout groupe abélien contenant des opérations dont l'ordre excède 2 doit 

 contenir des opérations invariantes. Lorsque le groupe d'isomorphismes 

 de G est abélien, G est circulaire. 



» Comme le groupe d'isomorphismes cogrédients d'un groupe non abé- 

 lien ne peut être circulaire, il s'ensuit que son groupe d'isomorphismes ne 

 saurait être circulaire. De ce fait et du paragraphe précédent, l'on déduit 

 que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un groupe circulaire 

 d'ordre n soit le groupe d'isomorphismes d'un groupe, c'est que n soit de la 

 forme p°'{p — 1), p étant un nombre impair premier. En particulier, il n'y 

 a pas de groupe qui ait un groupe circulaire d'ordre impair pour son 

 groupe d'isomorphismes. Lorsque l'ordre d'un groupe abélien est divisible 

 par un nombre impair premier (/>), son groupe d'isomorphismes contient 

 une opération d'ordre p — \. 



» Il n'y a que deux groupes dont le groupe d'isomorphismes soit un 

 groupe symétrique d'ordre 6, et il n'y a que cinq groupes dont le groupe 

 d'isomorphismes soit le groupe symétrique d'ordre 24. Lorsqu'un groupe 

 possède le groupe symétrique d'ordre 6 pour son groupe d'isomorphismes 

 cogrédients et qu'il n'est pas le produit direct de deux sous-groupes, son 

 ordre est 3.2" et il renferme trois sous-groupes circulaires d'ordre 2" et 

 seulement un seul sous-groupe d'ordre 3. Pour chaque valeur de a > o, il 

 n'y a qu'un seul groupe de cette nature. Tout autre groupe qui a le groupe 



(') Comptes rendus, l. CXXVIII, p. 229 et 628. Voir aussi Fite, Bulletin of tlie 

 American mathematical Society, t. VI, p. 11; 1899. 



(^) Voir aussi Burnside, Theory of groups of o Jinite order, p. 221; 1897. 



