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équation harmonique, et la somme des carrés de ces quatre solutions est 

 nulle; nous ne considérerons pas ce deuxième groupe comme distinct du 

 premier. 



)) Soit to l'une des solutions 0, formons l'équation en f2 que l'on déduit 

 de l'équation harmonique en par la transformation 



Uii groupe de quatre solutions 0, distinct du groupe dont w fait partie, se 

 transforme dans la nouvelle équation en un groupe de quatre solutions 

 dont la somme des carrés est une constante; cette constante n'est nulle 

 que dans le cas limite où co devient une solution harmonique. Aux trois 

 solutions du même groupe que w correspondent trois fonctions qui sont 

 les coordonnées rectangulaires d'ime surface minima rapportée à ses lignes 

 de longueur nulle. En transformant un peu ces résultats, on obtient la 

 proposition suivante : 



» L'équation de Laplace à invariants égaur, que vérifient les coordonnées 

 rectangulaires d'une surface minima quelconque rapportée à ses lignes de 

 courbure, possède une infinité de groupes de quatre solutions dont la somme 

 des canes est constante. 



» Chacun de ces groupes fait connaître les coordonnées pentasphériques 

 d'une surface isothermique. Les surfaces isothermiques, que l'on peut 

 déduire par ce procédé de toutes les équations harmoniques, constituent 

 une classe dépendant de deux fonctions arbitraires, elles sont entièrement 

 déterminées dans ma Thèse de Doctorat; nous les appellerons surfaces (I). 



» A chaque surface isolhermique (I) est associée une sphère (S) sur laquelle 

 des sphères variables tangentes à (I) et à (S) décrivent un tracé géographique 

 de la surface (I). Le rayon de chaque sphère variable est l'inverse de la cour- 

 bure moyenne de la surface (!) au point de contact. 



)) On peut établir une liaison géométrique entre toutes les surfaces (I) 

 que l'on déduit d'une même solution co : 



» La fonction co"- est proportionnelle au produit de la différence des cour- 

 hures principales en un point quelconque d' une surface (I) correspondante par 

 la puissance de ce point par rapport à la sphère (S) associée. 



» Considérons au contraire toutes les surfaces qui dérivent d'un même 

 groupe de solutions©, leurs lignes de courbure ont pour image, sur chaque 

 sphère (S) correspondante, le même réseau orthogonal et isotherme (ou le 

 réseau inverse). 



