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» A l'aide d'un déplacement et d'une honiothétie, on peut faire coïn- 

 cider toutes les sphères (S) avec une sphère fixe (O), les surfaces (I) de- 

 viennent toutes les surfaces dont la correspondance par sphères tangentes 

 avec une sphère fixe fait correspondre les lignes de longueur nulle. Dans 

 ma Communication du 23 mai 1899, j'ai donné quelques propriétés géo- 

 métriques de ces surfaces, j'ai indiqué en particulier qu'elles étaient iso- 

 thermiques. Si le rayon de la sphère (O) augmente ou diminue indéfini- 

 ment, on trouve comme cas limites des surfaces (I) les surfaces minima 

 dans le premier cas, leurs inverses dans le second cas. 



» On déduit des résultats précédents que la détermination des surfaces 

 (^toutes isothermiques), dont les lignes de courbure ont pour image sur une 

 sphère un réseau orthogonal et isotherme donné, se ramène à ta recherche des 

 solutions d'une équation harmonique ou à la recherche des solutions harmo- 

 niques. Ce problème est compris dans une question plus générale traitée 

 par M. Darboux (^Comptes rendus, 29 mai 1899). 



» Indiquons maintenant les résultats du calcul qui sont très simples. 

 Supposons que le rayon de la sphère (O) ne soit ni infini ni nul et trans- 

 formons par l'inversion cette sphère en un plan que nous prendrons comme 

 plan des xy; les coordonnées {x, y, z) de la surface (C) lieu des centres 

 des sphères variables renferment deux fonctions arbitraires A et B ; ce sont 



I -t- AB 

 X ^a-^ b, y =: i(h — a), s = ^=^ = — «0. == /"(a, i). 



La surface (I) correspondante est l'enveloppe des sphères de centre 

 (x, y, z) tangentes au plan des ry; les coordonnées tangentielles (a, p, l) 

 de cette surface sont 



/(a, b) est l'inverse de la courbure moyenne de la surface (1). 

 » Signalons la relation différentielle 



rfe; + r/0^ -H d^l -+- r/e; = \dadb 



qui fait connaître une surface (C) de coordonnées (9,, 60, 63) el appli- 

 cable sur (C). Les sphères de rayon / qui ont leurs centres sur (C) 

 passent par l'origine et enveloppent une surface (!) dont (G) est la déve- 

 loppée moyenne. Nous allons indiquer quelques propriétés géométriques 

 des quatre surfaces (C), (I), (C), (T). 



» Le réseau conjugué commun aux surfaces applicables (C) et (C) est 



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