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 d'une intégrale réelle de l'équation 



dans le cas où il y a lieu d'en chercher une; c'est d'ailleurs une des princi- 

 pales difficultés de la question. 



» Considérons d'abord l'équation binôme 



où q (x) est une fonction continue de x, réelle, et telle qu'à partir dex — x^ 



on ait 



9(a;)>«>o. 



Soit r, une intégrale de (i) continue ainsi que ses deux premières déri- 

 vées : si elle est positive de a à b et si, de plus, sa dérivée en a est positive ou 

 nulle, elle sera certainement donnée par les approximations successives. Elle 

 sera donc l'unique intégrale répondant aux mêmes conthtions initiales et 

 finale (ordonnée et tangente en a; = a, ordonnée en x = b). 



» Une première conséquence est la suivante : il n'existe pas, dans ab, 

 en même temps que j,, d'intégrale non identiquement nulle, tangente 

 a ox en a et passant en b ou en un point b, < b. 



» Une autre conséquence offre une certaine analogie avec le théorème 

 de Sturm pour les équations du deuxième ordre : 



» Si dans ab l'équation 



_ + ^(x)j = o 



admet une intégrale tangente en a à ox et passant en b, et l'équation 



~r-,+q,{x)z^O 



dx 



une intégrale telle que (-£A _ ^o, (z)„i.o; si de plus q,{x)Ç,q{x) dans 



tout l'intervalle ab, l'intégrale z s'annulera certainement entre a et b. 



» Au moyen de ce théorème, on trouve que la distance ab de deux zéros 



conséculifs est, à partir dea^o, inférieure ou égale à ^ (K étant une con- 

 stante numérique); si l'intégrale est de plus tangente en a à ox 



j-=^ab^^. 



a 



en supposant q(x) ^ ^ pour x ^ .x„. 



