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 » Sans nous servir même du résultat ([iie je viens de rappeler, il suffn'a 

 de partir de la solution que j'ai indiquée autrefois du prohVeme (Joiinial de 

 r École Polytechnique, 1890), en admettant que la fonction donnée sur le 

 contour ait des dérivées première et seconde. Nous supposons d'ailleurs, 

 ce qui ne restreint pas la généralité, que le contour soit une circonfé- 

 rence C, et nous désignons la fonction donnée sur la circonférence 

 par F(0). Je commence alors par montrer, ce qui est le point capital déjà 

 indiqué {Comptes rendus, loc. cit.), que dans toute aire T intérieure à C, 

 les valeurs absolues des dérivées premières et secondes de la fonction u 

 satisfaisant à (i) et prenant sur C les valeurs F(0) sont moindres que ^"M 

 \k étant un nombre fixe indépendant de F, et M représentant le maximum 

 de |F(0) |]. On voit, en outre, facilement que pour tout point à l'intérieur 

 de C, on a 



|«| <'XM, 



X étant aussi un nombre fixe. On suppose, bien entendu, dans tout cela 

 que la circonférence C est suffisamment petite. 



» Ceci posé, prenons une fonction continue périodique quelconque A(0). 

 On sait que l'on peut la développer en une série 



/(0)=/.(6)+y.(9)+-- -A(0) + .... 

 les/, (ft) étant des suites limitées de Fourier, et cela de telle façon que 



\W)\<^n. 



les £ étant des constantes et la série e, + ...-)- 6„-)- .. ., étant convergente. 

 » Formons maintenant l'intégrale Uh{x,y) prenant sur C la valeur /„(^): 

 c'est un problème que nous savons résoudre. Il faut montrer que l'inté- 

 grale de (i) prenant sur C la valeur/(0) est représentée par 



(2) w,(,r,y) + a„(a;,j)+ . . . -\- u„{x, y) -^ •• •• 



>• Or, avec les remarques laites |)lus haut, ceci ne présente plus de liif- 

 ficultés. La série (2) prend d'abord sur C la valeury(6). D'autre part, dans 

 toute aire r intérieure à C, les séries des dérivées premières et secondes 

 telles, par exemple, que 



du, du, du,. 



— - -+- — = + . . . -I- — -f ■ . . . , 

 dx dx dx 



d'ui d^u^ d^Un 



dx- dx^ ' ' ' dx"^ ' ' ■ ' 



