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déplacement continu de T. Les normales à (S) dont les pieds sont sur r, 

 normales qui forment une surface développable, doivent appartenir à un 

 complexe linéaire. Ainsi, une développée de r doit être Q. 



» Deux cas doivent être examinés : i° Une seule déçeîoppèe F' de Y est Q. 

 Alors, dans le déplacement continu de T, cette courbe et F' doivent former 

 un système de grandeur invariable, et il résulte immédiatement de ce qui 

 précède que (S) est un hèlicoïde. Réciproquement, il est clair que les lignes 

 de courbure d'un hèlicoïde quelconque sont égales. 



» Nous avons implicitement supposé que la courbe F' n'est pas plane. 

 Dans le cas contraire, une modification facile au raisonnement précédent 

 montre que (S) est une surface de Monge, engendrée par une courbe plane 

 de grandeur invariable dont le plan roule sur une développable ( ' ). 



» 2° Toutes les développées de F sont C^. S'il en est ainsi, on peut donner 

 à F, à partir d'une position initiale, une infinité de déplacements infiniment 

 petits correspondant aux divers complexes linéaires attachés aux dévelop- 

 pées de F. L'ensemble de ces déplacements constitue un déplacement à 

 deux paramètres, et les complexes linéaires dont il s'agit forment un fais- 

 ceau. Ce faisceau contient au moins un complexe singulier. Autrement dit, 

 F doit avoir une développée plane, et cette courbe elle-même est plane : les 

 diverses développées de F sont donc des hélices. Mais une hélice ne peut 

 être Cl que si elle est tracée sur un cylindre de révolution. Il en résulte 

 que F est une développante de cercle. 



i> Dans le déplacement continu de F sur (S), les axes de tous les dépla- 

 cements hélicoïdaux élémentaires occupent, comme précédemment, une 

 position invariable par rapport à cette courbe, et par conséquent fixe dans 

 l'espace. Mais les pas de ces déplacements peuvent varier suivant une 

 loi quelconque. On arrive ainsi à la définition suivante de la surface (S), 

 dans le second cas : 



» Cette surface est engendrée par une développante de cercle qui se déplace 

 dans l'espace, de manière que son cercle générateur décrive un cylindre de ré- 

 volution, en même temps qu'elle tourne dans son plan d'après une loi continue 

 quelconque. 



» Une telle surface est une surface-moulure particulière. Celte remarque 

 permet de vérifier immédiatement sa propriété essentielle. 



» (Il peut arriver, dans le second cas, que les tangentes de toutes les 



(') Le raisonnement subsiste si r possède plusieurs développées C/, en nombre 

 fini, ou formant une Infinité discontinue. 



