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» En remarquant que la méthode de M. Rol)in pour résoudre le problème 

 fondamental de l'électrostatique (et, par conséquent, le problème de Neu- 

 mann) est applicable à toute surface (S), satisfaisant aux conditions i°, 

 2°, 3° et 4°. comme je l'ai démontré dans ma Note : « Sur les problèmes 

 fondamentaux, etc. » {Comptes rendus, 6 mars 1899. Fo/raussi ma Note pré- 

 cédente), nous tirerons de l'égalité précédente les égalités de M. Lia- 

 pou noff 



* = 1 



w, = c - 2 V,. 



(à l'intérieur de S), 



qui ont heu, par conséquent, pour toute surface (S), satisfaisant aux condi- 

 tions 1°, 2". 3° et 4°. Ces égalités nous donnent immédiatement 



^ = 4^y (? + ^^ ~ P' "^ P= -" P' + • • • ^ (- 0'?2;i+, H- • • •) 7/^-« (' )' 



p étant la densité d'une couche superficielle sans action sur un point inté- 

 rieur choisie convenablement. Le problème de Gauss est donc résolu pour 

 toute surface (S), satisfaisant aux conditions tout à l'heure mentionnées, si la 

 fonction f, continue sur (S), satisfait à la condition (S). » 



ANALYSE. — Sur les fonctions à quatre paires de périodes. 

 Note de M. G. Humbert, présentée par M. Poincaré. 



« Les fonctions abéliennes auxquelles conduit le problème d'inversion 

 de Jacobi, pour une courbe de genre deux, sont des fonctions uniformes 

 de deux variables u et (^, ayant pour paires de périodes (i, o), (o, i), 

 (g, h), (h, g'); de plus, si g,, h,, g\ désignent les parties imaginaires de 

 g, h, g', la quantité A^ -- g,g\ est essentiellement négative. 



» Existe-t-il des fonctions uniformes, F(u,v) ayant pour paires de 

 périodes (i, o), (0,1), (g, h), (h', g'), h' étant différent de h et, en 

 second lieu, si h'^h, est-il nécessaire, pour l'existence des fonctions 

 F {u, c), que K\ — g^ g\ soit négatif? 



(') Voir : Liapounoff, Sur certaines questions, etc. {Journ. de Mathém., 1898, 

 n» 3, p. 294, 290, 292, 3o5.) 



