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» I. Si A' est différent de A, il résulte d'un théorème célèbre de MM. Poin- 

 caré et Picard qu'on pourra, par une transformation convenable, ramener 

 le Tableau des périodes à (i,o), (o, i), (G, H), (H', G') où, celte fois, 

 H'= H, et, par suite, exprimer FÇu,i>) par un quotient de fonctions thêta. 

 Mais la transformation employée n'est pas généralement du premier ordie, 

 c'est-à-dire que les périodes du second Tableau n'entraînent pas celles du 

 premier; l'existence et la forme précise de fonctions F(«,^') admettant les 

 périodes du premier Tableau ne découlent donc pas immédiatement du 

 théorème qui vient d'être rappelé. 



)) M. Appell, qui a établi la proposition de MM. Poincaré et Picard dans 

 le cas des fonctions de deux variables, a montré que les quantités g, h, 

 h' , g' sont liées par une relation de la forme 



(i) Ag -+- B/i -+- B'A' + C^' + D(hh' -gg')-hE = o, 



où A, B, . . . , E sont des entiers qu'on peut toujours supposer sans diviseur 

 commun. 

 » Posons 



(2) U — lu-hij.i>; Y =■ y II -h y.' i' ; 



en désignant par !,...,(/ des constantes; soient (1,0), (o, i), (G, H), 

 (H', G') un système de périodes primitives pour U et V; nous dirons que 

 la transformation (2) est du premier ordre si elle fait correspondre à un 

 système de valeurs (m, c), défmi aux périodes (i, o), (o, i), (g, h), (à', g') 

 près, un et un seul système (U, y) défini aux périodes (i , o), (o, i), (G, H), 

 (H', G') près, et réciproquement. 



» On reconnaît que si ^, A, A, ^' vérifient la relation (i), G, H, H', G' 

 vérifient une relation de même forme, et que la valeur absolue tle la quan- 

 tité que nous désignerons par S : 



?) = AG + DE - BB' 



est un invariant pour toute transformation du premier ordre. On en 

 déduit, en désignant par A la valeur absolue de S, que la relation (i) peut 

 se ramener, par une transformation du premier ordre, au type 



H'=AH, 



en excluant le cas de S = o, où les fonctions à quatre paires de périodes 

 se réduiraient aux fonctions elliptiques. 



» On établit alors que la fonction uniforme de U,y, aux périodes (1,0), 



