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(o, i), (G, H), (AH, G') devient par la transformation U = \u',Y= v', 

 une foaction/(«', (/), exprimable par un quotient de fonctions uniformes 

 et entières, ©(«', ^''), vérifiant les relations 



c \ 



0(u'-h H, p'-t- G') = e(u', ,/) e2'î'*-i"' ^P, 



k désignant un entier, x et p des constantes. Les ©(«', v') sont donc des 

 fonctions thêta, d'ordre kA; mais ce ne sont pas les fonctions les plus 

 générales de cet ordre, parce que e(u,v') reste inaltéré, quand on aug- 

 mente u', non seulement de i, mais de y On forme sans difficulté ces 



fonctions thêta particulières, qui, pour y. et [i donnés, sont fonctions 

 linéaires et homogènes de X'A d'entre elles : on obtient ainsi la solution 

 complète du premier problème posé. En utilisant les conditions d'exis- 

 tence des fonctions thêta, on reconnaît que les fonctions F(u,i'), aux 

 périodes (i,o), (o, i), (g, h), {h', g), liées par la relation (2), n'existent 

 que si la quantité 



(AC4-DE-BB')(A,/<-o,^;), 



où g^, g\, h,, h\ désignent les parties imaginaires de g, g' , h, h' , est néga- 

 tive. 



» Trois fonctions F(m, v) sont liées par une relation algébrique qui 

 donne une surface hyperelliptique S : cette surface possède deux inté- 

 grarles de différentielles totales de première espèce (en général), mais elle 

 diffère profondément des surfaces hyperelliptiques ordinaires. Une de ces 

 dernières, en effet, correspond point par couple à une courbe C de genre 

 deux, c'est-à-dire qu'à un couj)le de points sur C répond un seul point de 

 la surface, et à un point de la surface un seul couple sur C : pour la sur- 

 face S, une telle correspondance n'existe pas; à un couple sur C répond 

 bien un seul point de S, mais à un point de S répondent A couples sur C. 



» II. Pour qu'il existe des fonctions ^(u, v), admettant les périodes (i , o), 

 (O' 0' (»■' ^)' {^> g')' lorsque /r^ — g,g\ est positif, il est nécessaire et suf- 

 fisant que g, h, g' vérifient une relation de la forme 



(3) Ag-hBh-i-Cg'+D(h-- gg')-+-E = o, 



