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où les X sont des fonctions de toutes les variables œ; nous nous proposons 

 d'intégrer, s'il est possible, ce système avec n équations <p, = o, ..., rp^„=o. 

 )) Si nous supposons que dans le ç sont contenues m fonctions arbi- 

 traires linéaires ol^, %.,... .,a.^ des variables a?, , . . . , a;„_„, avec m{n — 7» -h i ) 

 constantes arbitraires, nous pouvons éliminer ces fonctions et leurs diffé- 

 rentielles premières dx, . . ., dy.„, entre 



( <P,==0, ..., Cp,„=:^0, 



(2) </<p, = 0, .... f/(p,„=0, 



( rf^cp, = o d-'^„r-^ o, 



et retrouver par là un système de la forme (i). Ce cas est celui que l'on 

 peut appeler des systèmes complètement intégrables, en étendant les défini- 

 tions connues pour les systèmes de premier ordre. 



» J'ai démontré que les intégrales «p de (i) ne peuvent contenir plus que 

 m(n ~ /n -h i) constantes arbitraires, et que, dans ce cas, ces constantes 

 doivent être contenues nécessairement comme coefficients de m fonctions linéaires 

 des variables œ, . . ., oc,^_,„. 



» Les conditions nécessaires et suffisantes pour ce cas sont de la /orme 



m 



s = l 



OÙ les indices j\ h, A- peuvent varier entre 1 et n, et i peut varier entre i e! m. 

 » Ces conditions ne sont pas toutes indépendantes; il y a toujours 



rn(n — i ) « ( «-)- i ) 



conditions indépendantes. Pour w = 1 , n -^ i on a huit conditions, comme 

 a trouvé M. Guldberg. 

 » On a identiquement 



[J/>ki] — I A'hj'i] = [Jkhi\. 



Lorsque les conditions (3) sont satisfaites, existent toujours m systèmes de m 

 fonctions 



{* H ' • • ■ • f- 1 m » 



['•/ni) 



