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» Ses travaux sont nombreux et variés. Quelques-uns sont classiques, 

 tous sont instructifs. 



» Son gros œuvre porte naturellement sur les diverses branches de la 

 Physique mathématique qu'il ïi successivenient professée aux Universités 

 de Pavie et de Rome : la théorie mathématique de l'élasticité, la théorie 

 mathématique de l'électricité, l'Hydrodynamique et diverses questions de 

 haute Mécanique. 



» Mais il a cultivé, avec non moins de succès, la Géométrie et l'Analyse 

 pures et, bien avant d'avoir été élu Correspondant dans la Section de Mé- 

 canique, il avait été présenté, pour ce titre, par la Section de Géométrie. 



» De bonne heure, après Lobatschewski et Riemann, il s'est occupé des 

 fondements de la Géométrie. Dès 1868 il a illustré les 2;randioses doctrines 

 de ce dernier, en étudiant le problème relativement simple, mais très 

 précis, de la Géométrie et de la Cinématique des espaces à courbure con- 

 stante négative ou positive. En 1872, il a décrit et donné les propriétés de 

 la surface de révolution qui sert de type à la pseudo-sphère. Ces études ont 

 jeté une grande lumière sur les fondements de la Géométrie de notre 

 j)ropre espace tel qu'il nous est révélé par l'observation. 



)) On lui doit d'autres travaux de Géométrie. Il convient de citer 

 son Mémoire sur la Géométrie des formes binaires cubiques, celui où il 

 expose d'une façon personnelle et généralise les théorèmes de Feuerbach 

 et de Steiner sur la conique des neuf points et enfin celui relatif à la repré- 

 sentation d'une surface sur un plan de manière que les lignes géodésiques 

 soient représentées par des lignes droites. 



» Un de ses beaux Mémoires remontant à 1869 est celui qui a pour 

 titre : Sur la théorie générale des paramétres différentiels et sur lequel il est 

 revenu à diverses reprises. Il y applique aux surfaces courbes la notion 

 de ces deux invariants différentiels que Lamé a si utilement considérés 

 dans une fonction d'un point de l'espace euclidien, sous le nom de para- 

 métres différentiels des deux premiers ordres. Ils existent naturellement, en 

 particulier, pour une fonction d'un point d'un plan. Beltrami a montré 

 qu'ils subsistent, avec une complète analogie, pour une fonction d'un 

 point d'une surface courbe, et cette conception a eu d'heureuses con- 

 séquences à la fois pour la Géométrie et l'Analyse. 



» En Géométrie, elle a permis de présenter la théorie des surfaces sous 

 un point de vue nouveau, très systématique et très élégant. En Analyse, 

 elle a permis d'étendre à une surface courbe les procédés employés, dans 

 le plan, pour l'étude d'une fonction d'une variable complexe et d'envi- 



