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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une application de la méthode des approxi- 

 mations successives. Note (le M. A. Davidoolou, présentée par M. E. Pi- 

 card. 



(( Considérons l'équation 

 (i) -~^<if{x)y [9(j;)>oponra<a;3] 



utile pour l'éfiide des équations de même forme mais qui contiennent un 

 paramètre variable, et qu'on rencontre dans la théorie des verges élas- 

 tiques. 



» Le premier problème à résoudre est de savoir dans quels cas une 

 pareille équation admet une intégrale r, (a;) tangente à Ox en a et è et po- 

 sitive dans cet intervalle. 



» Remarquons d'abord que si la fonction W{œ) est positive dans ab, 



l'intégrale de l'équ ition 



d* u , , 



tangente à 0:r en a et h est aussi positive dans cet intervalle. Cela étant, 0:1 

 démontre immédiatement que si l'équation (i) admet une intégrale j, (j?) 

 positive et non nulle dans ah, telle que 



y\{a)lo, y\{b)io 



(et même dans un cas beaucoup plus général), cette intégrale est donnée 

 par la méthode des approximations successives. Elle sera donc l'unique in- 

 tégrale répondant aux mêmes conditions initiales et finales (point et tan- 

 gente en a, point et tangente eu h\ L'existence d'une pareille intégrale 

 entraîne la non-existence dans ah de l'intégrale -(a;), non idenliquement 

 nulle, tangente à Ox en a et h. En effet, on peut choisir une constante G ]> o 

 telle qu'on ait, dans ah, 



Z{x) = Qy,{x)-^z{x)>o; 



les deux intégrales Cy^{x) et z(^x) répondent aux mêmes conditions ini- 

 tiales et finales, ce qui est inadmissible [ce résultat subsiste même si les 

 points de contact de -(a?) sont intérieurs à ab\. On est ainsi conduit 

 à chercher dans quels iîitervalles ab il existe une intégrale positive et telle 

 que la méthode des approximations successives soit applicable. 



