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 que l'intégrale j„(ir) soit tangente à O.r en a et h,, et change {n — i) fois 

 de signe dans ab^. 



« Désignons par j, (.r) l'intégrale tangente à Ox en a et b, et posons 



*^i=yi'(«)<"- 



)) Nous envisagerons l'intégrale j'xC^) telle que 



n(a)=j-;.(«) = 0' 



yx sera une fonction continue de >, qu'on pourra déterminer de proche en 

 proche. La considération des intégrales 



y\{x) - yx{x) = zy(x) a'<\<io,), 



toutes positives et croissantes, d'après (i), montre que : 



)i 1° Pour \ voisin de w,, yy coupe Ox en Xy et x-, voisins de h et situés 



de part et d'autre de ce point; elle est positive de a à a?),, négative de Xx 



à Xy : 



)) 2" Quand X décroît, xy_ va vers la gauche et x{ vers la droite, x^ étant 



à chaque instant le seul zéro entre a et x\ . 



» Soit b' le point tel qu'il existe une intégrale tangente à Ox en b et //. 



et positive dans bb' ; (— ^) , qui commence par être positive s'annulera 



certainement entre b &\.b' . En effet, entre deux intégrales/, Y de ( i ) on a 



d'Y ^-d'y _ dv d'-Y dY d}y 



•>' ZF» "'" ^ dit-' ~ *^°"'^ "*" dx dx' ' dx dx"' 



et en prenant j ^ . , , Y — yx on voit immédiatement que 

 et par suite 



\dx) x=.i. 



L dx Jx = A L dx J^. = i. 



» Les approximations successives convergeraient pour cette intégrale, ce 

 qui est incompatible avec l'existence d'une intégrale tangente à Oa? en b 

 elb' (on suppose ici l'existence de l'intervalle bb'). Nous trouvons donc 

 une intégrale y.,(x) de ( i ) tangente à Ox en a et b.,{b.,'^b) et changeant 

 une fois de signe dans ab.,. Soit w. = r™(«)< "c On démontre à l'aide du 

 théorème de Rolle que, pour x'^b.,, y-.(x) ne s'annule plus. En faisant 



