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parcourir kl les mêmes A'^aleurs, mais en sens contraire (à partir de oj^) 

 et en portant notre attention sur la branche infinie (x'^h^), on démontre 

 par le même procédé que pour une valeur del,l = o), (<».■, <^o>., <!^'^( ). l'in- 

 tégrale correspondante sera tangente à Ox en a et h.^^i^h^'^ b.^ ) et ainsi de 

 suite. 



M C'est de ce théorème que nous ferons usage pour l'étude de l'équation 



renfermant le paramètre arbitraire k. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l'intégration des équations linéaires 

 à discriminant non nul. Note de M. J. Le Roux, présentée par M. Darboux. 



« En cherchant à étendre aux équations linéaires à un nombre quel- 

 conque de variables indépendantes les méthodes dont j'ai fctit usage dans 

 le cas de deux variables, j'ai obtenu quelques résultats intéressants. 



» Rappelons qu'à toute équation linéaire d'ordre /j, à « variables indé- 

 pendantes, correspondent des surfaces caractéristiques (variétés k n — i 

 dimensions) définies par une équation aux dérivées partielles, homogène 

 du premier ordre et du p"™" degré. Je suppose le discriminant de cette 

 équation homogène différent de zéro. 



» Dans cette hvpothèse, on |)eut représenter par des intégrales mul- 

 tiples k n — I dimensions et à limites variables toutes les intégrales de 

 l'équation proposée, quand on a préalablement obtenu : 



)) i" Une intégrale complète de l'équation des caractéristiques; 



» 2° Une solution particulière de l'équation considérée satisfaisant à 

 des conditions analogues à celles qui définissent nos intégrales principales. 



)) Considérons, par exemple, l'équation du second ordre à trois variables 

 indépendantes 



^ i .-, du .., du ,-,„àti , „ 



+ 2C^ h 2C -r- 4- 2L "i- + D?/. = O. 



( ' dr (Jy dz 



» Les surfaces caractéristiques sont définies par l'équation homogène 

 du second degré 



