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dont le disci'iminant est supposé différent de zéro. Soii u{x, y, z, a, p) 

 une solution particnlière de l'équation (i), a et jî désignant des paramètres 

 arbitraires. 



» La fonction définie par l'intégrale double 



(3) l] = 1^ f/(a, 9.)ii(.x,v, z, a, ^)d^d(i 



est une nouvelle solution, quelle que soit la fonction /(y-, P), pourvu que 

 lechamp d'intégration d'une part, et d'autre part la solution u(œ, y, z, a, p) 

 satisfassent aux conditions que nous allons définir. 



)) i" Si nous considérons a et p comme les coordonnées rectiliones d'un 

 point, le champ d'intégration sera représenté par une aire plane dont le 

 contour se composera d'une partie fixe et d'une partie variable (c'est-à-dire 

 dépendant des variables .r, y, s). C'est ce que nous aj)pellerons la limite 

 fixe et la limite variable de l'intégrale double. La première peut être quel- 

 conque, la seconde doit être définie par une équation de la forme 



(4) p = rp(r,r. .%'/) 



qui représente une intégrale complète, d'ailleurs arbitraire, de l'équation 

 aux dérivées partielles des caractéristiques. 



)i 2" Sur la surlace caractéristique définie par l'équation (4) où l'on 

 regarde de nouveau a et p comme des paramètres constants, la formation 

 u(^x, y, ;, a, p) doit être égale à une intégrale quelconque de l'équation 

 suivante 



l dj^\ d-r ()y <)z j ÙY\ dx ôv az J 



Or- ()\- oz- ^y"-- Ozât 0.1 dy j 



)) Cela posé, considérons une courbe analytique quelconque de l'espace. 

 Par cette courbe passent eu général deux nappes de surfaces caractéris- 

 tiques. On sait que toute intégrale de l'équation (i) est déterminée par les 

 valeurs qu'elle prend sur ces deux surfaces. Or, dans la formule (3), on 

 peut disposer, en général, de la fonction arbitraire /(a, P) et de \a. limite 

 fixe de l'intégrale double de telle Façon que la fonction U s'annule sur l'une 

 (les dewx nappes considérées, et jrenne sur l'autre des valeurs données 

 d'aviince. Nous avons donc le droit de dire que l'intégrale générale de 

 l'équation (i) est donnée par la formule (3). 



