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A se réduit à un produit de la forme 



h{.x — Xa){x — n\)(x — X.,) . . .(x — x^+^), 



où II est une constante différente de zéro. 



» Désignons maintenant par (;j.",v") l'un quelconque des trois points 

 ((/+ T, v'), ([a', v'+ i), (f/ + I, v'-f- i); on peut énoncer ce théorème : 



» Les termes des fractions -^> v^' v^^ satisfont aux relations 



(A) 



où a est, à un facteur constant prés, égal à x — x^^^^f.,, si (ij.'.v') est l'un 

 des deux premiers couples (3 ), ou à (x — x^^^.,+, )(x — x^^^,,,,), si (7/, v') est 

 le troisième point (pi. + i , v + i); tandis ijue a est, soit une constante, soit un 

 binôme du premier degré. 



» 3. Les formules de récurrence (4) sont tout à fait analogues à celles 

 qui, relatives aux réduites normales d'une fonction, donnent naissance 

 aux fractions continues holoïdes de cette fonction; elles conduisent donc 

 aussi à des fractions continues, analogues aux fractions continues holoïdes, 

 ayant les quantités a pour numérateurs partiels et les quantités a pour 

 dénominateurs partiels. Chacune de ces fractions continues, qui sont en 

 nombre illimité, donnera, par ses réduites, ime succession déterminée de 

 fractions de Cauchy appartenant à la suite à double entrée de ces fractions, 

 les réduites successives correspondant à un nombre de plus en plus grand de 

 termes, pris en même nombre, dans les suites (2). 



» Il y aura trois types réguliers analogues à ceux obtenus dans la théorie 

 des fractions continues holoïdes régulières d'une fonction, associés chacun 

 à une disposition caractéristique des points du plan qui correspondent aux 

 réduites. 



» La complication de la fraction de Cauchy rend actuellement difficile 

 le calcul des coefficients qui entrent dans les éléments si simples oc et a des 

 formules de récurrence dont je viens d'établir l'existence. Seule la fraction 

 continue qui généralise celle d'Euler s'obtient aisément en prenant sous 

 la forme de Newton le polynôme d'interpolation auquel se réduit, dans 

 ce cas, la fraction de Cauchy. Si l'on désigne généralement par /(a;) une 

 fonction qui, pour x = Xg, >r,, x^, ..., devienne égale à «„, «,, u.,, . . ., et 

 par /(a^ii-x", ), fÇx^XfX^j, ... les fonctions interpolaires des différents 

 ordres, on trouve que : 



