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à points critiques fixes (R désigne une fraction rationnelle en y', algébrique 

 en y, analytique en x'). 



» La méthode que j'ai employée est applicable à \\n système différentiel 

 quelconque (dont l'intégrale générale ne dépend que de constantes) : je 

 voudrais en indiquer ici les grandes lignes et quelques applications. 



» La méthode, en fait, se décompose en deux méthodes distinctes : la 

 première a pour objet de trouver des conditions nécessaires pour que les 

 points critiques soient fixes; la seconde, de reconnaître si ces conditions 

 sont ou non suffisantes. 



» Pour fixer les idées nous considérerons le système 



(S) 



où A, B, G sont trois polynômes en x,y, z. 



» I. Recherche des conditions nécessaires. — La méthode repose sur cette 

 remarque bien intuitive : 



» Quand un système diflerenliel, qui dépend d'un paramètre a, a ses points cri- 

 tiques fixes pour a quelconque (mais cifférent de zéro), il en est de même, a fortiori, 

 pour a = o. Plus généralement, si l'on développe les fonctions inconnues y{x), z{x) 

 suivant les puissances croissantes de z, les coefficients du développement ont leurs 

 points critiques fixes. 



» Pour appliquer cette remarque à un système différentiel donné, on 

 introduit, dans ce système, un paramètre a. tel que, pour a quelconque, le 

 nouveau système ait ses points ciitiques fixes en même temps que le sys- 

 tème donné, et que, pour a = o, il soit intégrable. Dans le développement 

 des fonctions inconnues suivant les puissances de a, les coefficients sont 

 alors définis par des quadratures, et en exprimant que ces coefficients ont 

 leur points critiques fixes, on obtient explicitement des conditions néces- 

 saires. On applique à nouveau le même procédé au système (S) simplifié 

 par ces premières conditions, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le procédé 

 ne donne plus de conditions nouvelles. 



» Précisons sur le système (S) : Soit z = g{x^, y\) un zéro de 

 C{x„Y„z). Posons z = g{x,y)-^'(,; il vient : r^'-f =^{x, y,'Q), 

 X,''l;=(^{x,y,'C), P(^) et QCC) étant holomorphes et différents de zéro pour 

 ^ = o. Si m < « -I- I, la transformation x ^x^ + a"-' X, j = y^-l- a"^'-'"Y, 

 'C = a.Z, montre que, pour oc = o, le système a des points critiques 

 mobiles. On doit donc avoir n<m — i; posons : l'"y' = 'iî(x,y) ^'C, 

 '('"-''C = K(x,y) -h'C(-- ■); la transformation a; = a^o + a.'" X , l = y.Z 



