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montre que le système intégrable C'"j'' = H(a7„, v\ Xj^-^'Ç = R(a^„,j) doit 

 avoir ses points critiques fixes, etc. 



» Appliquée en particulier à l'équation (i), la méthode montre d'abord 

 que R (comme il est bien connu) doit être un polynôme du second degré 

 en y, soit R^ A(a;, y)y- -|- B(a;, r)j'-)- C(a7, j); ensuite, que l'équa- 

 tion y" ^ k{x^, y)y'^ doit avoir ses points critiques fixes, d'où toutes 

 les formes possibles de k(^x,y). En appliquant enfin la méthode aux pôles 

 y =z g(^x^ de R, on arrive aux types que j'ai énumérés explicitement 

 ( Comptes rendus, 1 899 ) . 



)) II. Recherche des conditions suffisantes. — Quand les conditions précé- 

 dentes sont remplies, le système ne peut ailmettre de points critiques cilgé- 

 èr/ywe^ mobiles; mais il peut exister des singularités transcendantes mo- 

 biles. 



» Pour démontrer que de telles singilarités n'existent pas, voici la 

 méthode qu'on emploie : On établit qut, si a est une singularité d'une 

 solution a; (y), ~\x') de (S), il existe rfes valeurs de x, aussi voisines de a 

 qu'on veut, et pour lesquelles j'( a;), ^(c) prennent des valeurs voisines 

 de certaines valeurs remarquables h, c (fiiies ou non); ces valeurs a, b,c 

 sont telles que, dans leur voisinage, on connaît la forme des intégrales 

 premières de (S), et cette forme montre que les fonctions y{x), z[x) 

 sont niéromorphes dans le domaine de x— a. Les seules singularités mo- 

 biles des fonctions y{x), :-{x) sont doncdes pôles. 



)) Pour mettre, au contraire, en évicence l'existence de singularités 

 transcendantes mobiles, le procédé consiste encore à introduire dans S un 

 paramètre a tel que, pour a quelconque, le nouveau système ait ses sin- 

 gularités fixes en même temps que (S). Si, pour a = o, le système est 

 intégrable, et si l'intégration met en évidence des singularités transcen- 

 dantes mobiles, de telles singularités existent a fortiori pour (S). 



» Observons que la méthode (I) s'applique sans difficulté à un système 

 différentiel d'ordre quelconque; au contraire, les complications de la mé- 

 thode (II) s'accroissent avec l'ordre du système. 



» Quand il existe des singularités transcendantes mobiles, il faut (pour 

 que ces singularités ne donnent pas lieu à des branchements) qu'aux con- 

 ditions (I) s'ajoutent des conditions nouvelles qui sont transcendantes. On 

 ne peut donc espérer alors reconnaître, à l'aide d'un nombre fini d'opéra- 

 tions, si un tel système (S) a effectivement ses points critiques fixes; mais 

 on peut démontrer qu'une classe de systèmes (S) donnés renferme des 

 systèmes à points critiques fixes. C'est ce qui se passe, par exempie, pour 



