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M Nous démontrerons plus bas que, dès qu'une des développées dune 

 courbe plane est une courbe C^, toutes les développées de cette courbe 

 jouissent de la même propriété. Pour obtenir la courbe F la plus générale, 

 il suffira donc de déterminer la courbe H, la plus générale, f[ui est à la fois 

 une hélice et une courbe C^; la courbe T sera une trajectoire orthogonale 

 des génératrices de la développable dont la courbe H est l'arête de re- 

 broussement. Supposons, ce qui est permis, que les diamètres du com- 

 plexe linéaire qui renferme les tangentes de H ne soient pas isotropes. 

 Soient O^ l'axe central de ce complexe et Ox, Oy deux axes formant 

 avec le premier un trièdre trirectangle. Toute courbe C dont les tan- 

 gentes appartiennent au complexe satisfait à l'équation bien connue 

 kdz — xdy — ydx. Si l'on prend sur Os un point S à une distance k de 

 l'origine et que, par ce point, on mène des piirallèles aux binormales de 

 la courbe C, le cône ainsi formé coupera le plan des xy suivant une 

 courbe €„ égale à la projection de C sur le même plan. En particulier, 

 pour la courbe H, ce cône sera de révolution et la courbe C„ sera une 

 courbe du second ordre. Il résulte de là que la courbe H est tracée sur 

 un cylindre du second ordre. Une quadrature donnera au moyen de 

 l'équation ci-dessus la coordonnée z- de cette courbe. 



» On peut également déterminer la courbe T par la méthode suivante 

 qui permettra, en outre, de définir le déplacement continu qu'il faut im- 

 primer à cette courbe pour engendrer la surface cherchée. Prenons comme 

 plan des xy le plan de la courbe T et soit 



A„ a. ^- Bo P -)- C(,y -I- P„ A '^- Q„ a ^- R„v = o 



l'équation du complexe linéaire qui renferme les tangentes d'une de ses 

 développées. Une quelconque de ces tangentes fait avec le plan des xy un 



angle constant 0„ et a pour coordonnées (x^^ — dy, fjr=idx, y = — , 



'i.r=i yh^^ds, i). — — x/i„ds, 'i=xdx-^ydy. Dans ces formules, oi^i l'on a 

 posé hu —^ cot6„, X et r désignent les coordonnées du point où la tangente 

 rencontre T, et s est l'arc de cette courbe. La courbe T est donc définie par 

 l'équation 



C P O 



Aoc/v '.-Bffdx -H -p-ds 4- -j^yds— -j^xds r- R„(,r6?a- -^ydy) - o, 



c'est-à-dire par une équation de la forme 



( I ) A r/j -f- B dx -\- C ds -f- Vyds -i- Qx ds '- R(xdx -y dy) ----- o. 



» Toutes les développées de F sont des courbes C/, et si les tangentes de 



