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 mais ( i) donne 



(3) V- - V;; .-= k- (|^ - ^) + -J~. [sip, cos;„ - s/pcosj) , 



l'où, par comparaison de (2) et (3), la formule 



3 m 



— I 7= VP COSi ^ — — H T^rr v/n,, cosj,, H =^ const. 



« «Va' P '''' «V«' P» 



applicable au passage de P dans la sphère d'attraction de P', c'est-à-dire à 

 toute époque / comprise entre /„ et /,. Pour / - /„ elle se réduit à une 

 identité évidente, et pour t -~ l^ au critérium de Tisserand, puisque alors 



P ~ Pi =^ ?o- » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. -- Sur les équations différenlielles du troisième 

 ordre à points critiques fixes. Note de M. Paul Painlevê, présentée par 

 M. Appel!. 



« Je me propose, dans cette Note, d'indiquer quelques théorèmes précis 

 sur les équations du troisième ordre à points critiques fixes. Je me limiterai 

 aux équations de la forme 



où R est rationnel en y", y' , algébrique en y, analytique en x. 



» La méthode que j'ai indiquée (Comptes rendus, 19 mars 1900) coniiuil 

 aux résultats suivants : Si l' équation (i) a ses points critiques fixes : 



» I. R est un polynôme du second degré (au plus) en y; soit 



( 1 ) f" = A (y, y, x)y"-^ H- B(/, y, x)y" + C(/, y, x) s R. 



» II. L'équation 



y"'=k(y',y„œ,)y'-- 



a son intégrale uniforme (x^, j'„ étant des constantes quelconques); autre- 

 ment dit, A coïncide avec une des douze expressions suivantes : 



—, ) -- , (n entier t- ou —, mais zf^± i), 



■ y + « y -\- a ^ 7^ / ' 



I I \ r j 1 II 21 



I 

 O 



y' + rt y+l^J y -h a 2(y+(j) 2(v'+«) 3{y+lj] 



