( 88i ) 

 Prenons, en effet, x comme fonction, v comme variable; on aura 



da: — n d^ u , / - dit n , , 



-r- = w, -r^ — vKy) -~i ■ Y ( y ) M = o. 



dy n + I dy- > \"' / dy « + i ' -^ ^ 



» En particulier, pour n=^ — 2, P^eeo, les équations (2) (à intégrale 

 uniforme) définissent les Jonctions automorphes ( fiichsiennes et kleinèenncs) . 



» Pour déterminer toutes les équations (i) à points critiques fixes, un 

 problème préliminaire s'impose donc : 



)) Déterminer toutes les équations 



C^) y"=yH7) + /yP(r)+/'r(/) 



dont l'intégrale générale est uniforme. 



)) Bien que je n'aie pas achevé de traiter ce problème dans tous ses 

 détails, il n'est pas douteux que ces équations (3) ne se laissent ramener 

 à celles de la classe particulière a = ^, p = o. Autrement dit, l'iatégrale 

 générale d'une équation (3), quand elle est uniforme, est réductible aux 

 fonctions automorphes et à leurs dégénérescences. 



» Je signalerai encore les propositions suivantes : Soit y = (I)(,c) une 

 intégrale quelconque de l'équation (i) (à points critiques fixes), et 

 y = (p(a7) une intégrale (uniforme) de l'équation (2) : 



1) 1° Si o(r^ possède des singularités transcendantes à distance finie. <I'(t) 

 présente des singularités transcendantes mobiles; si, pour '^(ccf ces singula- 

 rités comprennent des ensembles parfaits (ou des lignes), il en est de même, 

 a fortiori, pour <ï>(^); 



« 2" y est, d'après (i), algébrique en y et s'exprime (birationnelle- 

 ment) à l'aide de y et d'une irrationnelle Y définie par une relation 

 H(j, Y, a;) = o (algébrique en y. Y, analytique en x). La fonction Y (x), 

 définie par l'égalité }î(cji, Y,xf) ^^ o est uniforme comme '^(x). Si donc (f{x) 

 est méromorphe ou possède des points essentiels isolés, le genre de la relation 

 H ( y. Y, x^ ) ^^ o est o ou i . 



1) L'étude des lonctions automorphes suffit à montrer qu'à l'inverse de 

 ce qui se passe pour le second ordre (Comptes rendus, 1899), les équa- 

 tions (i) à points critiques fixes ne sont pas réductibles à un nombre fini 

 de types dépendant d'un nombre fini de constantes. Toutefois, une fois 

 choisie la simplifiée (2) d'une équation (i), il me paraît vraisemblable que 

 toutes les équations ( i) correspondantes (h points critiques fixes) sont 

 susceptibles d'une telle réduction. De plus, si l'intégrale de (1) présente 



G. K., Kjùo, 1" Semestre. (T. CXW, N» 14.) Il5 



