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des points singuliers essentiels mobiles non isolés, elle se déduit, par qua- 

 dratures, des fonctions automorphes. Mais je n'ai pas encore établi ces 

 derniers résultats en toute rigueur, tous les théorèmes qui précèdent ont 

 leurs analogues dans l'étude des équations différentielles algébriques 

 (d'ordre quelconque) à points critiques fixes. . 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur une inversion d'intégrale double. 

 Note de M. J. Le Roux, présentée par M. Darboux. 



<c Le problème qui fait l'objet de la présente Note se rattache d'une 

 façon évidente à l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles 

 par la méthode que j'ai eu l'honneur d'indiquer à l'Académie dans une 

 Note récente. Il présente un intérêt particulier à cause de la simplicité des 

 calculs et de la forme remarquable du résultat. 



» Considérons dans le plan (>i7, j) le triangle AOB formé par les axes 

 Ox, Oy et par la droite variable AB dont l'équation par rapport à ces axes 

 est 



L'intégrale double 



X Y 



1- - = I = O. 



U l' 



j j f(x, y)dxdy 



étendue à l'aire de ce triangle est une fonction F(i/, v) des coordonnées de 

 la droite. 



» Inversement, étant donnée une fonction F(«, v ) holomorphe dans le 

 voisinage de l'origine et s'annulant pour w ^= o et pour s> =^ o, proposons- 

 nous de trouver une ioacWon f(x, y) telle que nous ayons 



(') F (a, V) =ff/{^> y)dxdy. 



» Soit 



(2) F(m, (^) = iA,„,„M"'-'p"-<-'. 

 » Posons 



(3) /(^,j) = 2B„,,„^'"7''. 



» On a, d'après une formule de Lejeune-Dirichlet (^Journal de Liouvilie, 



