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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les applications géométriques du théorème 

 d'Abel. Note de M. Ch. Michel, présentée par M. Appell. 



« Soit Y{x,y) = o une courbe algébrique de degré m. Considérons 

 une intégrale abélienne de troisième espèce rs(^x, y), singulière aux seuls 

 points A(a, b) et h\a',h') comme \os,{x — a) et — log(a7 — a). La 

 somme -ni des valeurs prises par l'intégrale w, le long des chemins par- 

 courus sur F = o par les mn points de rencontre avec une courbe variable 

 /= o, de degré «, est, à une constante près et à des multiples des périodes 



de T3 près, égale à log , ' , , - • On voit ainsi que, si, conservant la courbe 



/ = o, on remplace F = o par une autre courbe fixe F, = o, de degré quel- 

 conque, passant par les points A et A', et l'intégrale ct par une intégrale c,, 

 singulière aux seuls points A et A' comme log(a; — «) et — log(.r — a'), la 

 somme icj est égale à ia somme icj,, à une constante près. En particulier, si 

 F, = o est la droite AA', nous pouvons prendre, comme intégrale cj,, l'expres- 

 sion log 7- Si(,r,, V,) est un point commun ày:=oet à F=:o, et(E,, y),) 



un point commun à/= o et à F, = o, on a la relation 



C étant une constante. C'est une nouvelle forme du théorème d'Abel relatif 

 à l'intégrale de troisième espèce. 



» Lorsque /= o varie, la fonction Iw — les, est une fonction algébrico- 

 logarilhmique des coefficients de l'équation de la courbe, qui ne peut 

 admettre comme singularités que les points A et A'. Mais, étant constante, 

 elle est régulière en chacun de ces points. Par suite, si /"= o tend à passer 

 par l'un d'eux, la somme des |)arties principales des divers termes qui 

 composent cette fonction a une limite déterminée. Ainsi, les sommations 

 s'étendanl aux seuls points d'intersection de la courbe /^ o avec F = o 

 et F, = o qui se rapprochent indéfiniment du point A, l'expression 



2 log(a7,- - a) - :>; log(ç, - a) 

 a une limite. 



» J'ai pu démontrer directement ce résultat, en me servant des pro- 

 priétés du résultant de deux équations algébriques. J'en ai déduit une 

 démonstration élémentaire du théorème d'Abel relatif à l'intégrale de 

 troisième espèce. 



