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» Une remarque analogue est applicable à l'intégrale de deuxième 

 espèce, qui n'a d'autre singularité que le point A fa, è) et qui devient 



infinie en ce point comme La somme des valeurs de cette intégrale 



"C prises le long des chemins parcourus sur F = o par les mn points de ren- 



contre avec /= o est, a une constante près, égale a 1 expression ^ — ry» 



qui ne change pas si l'on remplace F = o par une autre courbe F, = o qui 

 lui soit tangente au point A. Si, en particulier, F, = o est la tangente en A 

 à la courbe F = o, on peut prendre comme intégrale i^, correspondante 



, et l'on a la relation 



a- — a 



i ^ mn i—n 



C étant une constante, à des multiples des périodes près. C'est une nou- 

 velle forme du théorème d'Abel relatif à l'intégrale de seconde espèce. 



» Quand /"= o varie, la différence V (^ — '^d est une fonction algébrico- 



logarithmique des coefficients de l'équation de la courbe, qui ne peut 

 admettre comme singularité que le point A. Mais, étant constante, elle est 

 régulière en ce point A, et, par suite, ./= o tendant à passer par A, la 

 somme des parties principales des termes qui la composent a une limite. 

 Les sommations s'étendant aux seuls points d'intersection de /= o avec 

 F =^ o et F, ^ o, qui se rapprochent indéfiniment du point A, l'expression 



y _' y .^'- - 



^ Xi - - a ^ \i — a 

 a une limite. 



)) Ce dernier résultat peut se démontrer directement par une méthode 

 algébrique, et l'on peut en déduire ainsi une démonstration élémentaire 

 du théorème d'Abel relatif à l'intégrale de seconde espèce. 



» Les formes (i) et (2) du théorème d'Abel sont plus propres que les 

 formes habituelles aux applications géométriques. Une raison en est que 

 les seconds membres des relations (i) et (2) ont une signification à la fois 

 projective et dualistique : dans le second membre de la relation (1), une 



quantité de la forme ? ^, peut s'exprimer au moyen d'un rapport anhar- 



monique, et la valeur du second membre de la relation (2) ne dépend que 

 de la position du pôle harmonique du point A par rapport au système des 

 points de rencontre de la courbe variable avec la tangente en A. Une 



