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 seconde raison est qu'elles laissent apparaître le rôle de chacun des points 

 de rencontre de la courbe y ^ o avec la droite AA' ou avec la tani^ente 

 en A. Or, le théorème d'Abel prend une forme illusoire quand la forme 

 F ^ o varie en passant par un point singulier A ou A'. Mais, s'il est mis sous 

 la forme (i) ou sous la forme (2), on pourra en déduire une relation non 

 illusoire avant lieu quand les courbes /= o varient en passant par le point 

 singulier, moyennant certaines conditions de contact entre elles. 



» Les considérations qui précèdent s'étendent à des cas plus £;éiiéraux. 



1) Si l'on considère une intégrale abélienne relative à la courbe F = o, 

 n'ayant comme singularités que des points en lesquels la partie principale est de 



A 

 la forme ;- B log(j; — a), les coefficients A et B étant indépendants de 



la courbe F = o assujettie seulement à passer par les points singuliers et à avoir 

 des tangentes déterminées en ceux de ces points où, le coefficient A n'est pas nul, 

 la somme des valeurs prises par r intégrale le long des chemins parcourus par 

 les points de rencontre deF ^= o avec une courbe variable f ^^ o est indépen- 

 dante de la courbe F = o, à une constante prés. 



» Parmi les intégrales assujetties aux conditions précédentes, je citerai 

 logR, où R représente le rapport anharmonique de quatre rayons dont l'un 



va d'un point fixe à un point variable de la courbe; l'intégrale > où a 



est une constante et m le coefficient angulaire du rayon qui va d'un point 

 fixe à un point de la courbe, l'arc d'une courbe de direction, l'aire balayée 

 par le rayon vecteur qui va d'un point fixe à un point variable de la courbe. 

 On peut ainsi établir divers théorèmes dus à Liouville et à Laguerre. Il 

 suffit ensuite d'y introduire les propriétés involutives des faisceaux liné- 

 aires ponctuels et tangentiels pour obtenir divers théorèmes de M. Humbert. 

 On peut remplacer les courbes d'un faisceau linéaire par des courbes dont 

 l'équation dépend entièrement d'un paramètre. 



« Dans l'application aux aires, à la place du théorème de M. Humbert, 

 j'obtiens les théorèmes suivants : 



)) Etant données deux courbes osculatrices en tous leurs points à l'infini, 

 rencontrées par une courbe variable, la différence entre les sommes des aires 

 balayées par les rayons qui vont de l'origine aux points de rencontre avec l'une 

 et avec l'autre est constante, à des multiples des périodes près. 



» Etant donnée une courbe dont toutes les asymptotes sont d'inflexion, si 

 on la coupe par une courbe variable dont l'équation dépend rationnellement et 

 entièrement d'un paramètre, la somme des aires balayées par les rayons qui 

 vont de l'origine aux points d'intersection est constante, si, toutes les fois que la 



