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)i ... Voici une nouvelle méthode et de nouveaux théorèmes suscep- 

 tibles d'expliquer et de généraliser les résultats obtenus par Laguerre, 

 par MM. Lerovet Borel, dans la représentation analytique des fonctions et 

 dans la sommation des séries divergentes ; 



» Considérons une série w(:;) = 2,j(s), 



» Écrivons d'une certaine manière o>„(z) = P„Q«- • -S,,. 



» Posons 



OÙ 's)[l\u, z). . .(f\'^'(w, z) sont des fonctions qui possèdent un pôle simple 

 unique, indépendant de z, situé, quel que soit n, à l'intérieur de C, . . ., L 

 où <ï>, (m). . .<î>/i(*v) sont respectivement holomorphes. Dans ces conditions 

 la série o>(s) s'écrit 



2 ^nQ'r ■ ■S„=fdufd^. . . f<l>,1'.,. . .c^,0(u, i',....w, z) dw, 

 où 6(u, V, . . .,w, z) représente lu série 



» Nous désignerons par (<î>. G» l'opération qui transforme la sérielaj„(5) 

 en l'intégrale multiple de la fol-mule (i). Après m opérations semblables, 

 on arrivera à l'intégrale multiple définie, résumée par le symbole (tl>,„6,„). 

 La fonction 6,„, que nous dési;nerons simplement par 0, donne lieu au 

 théorème suivant : 



» Siles séries 0,,,' ...(«, ^, ■ ■ •. '^'.J. ^)admellenl une représentation, valable 

 pour toutes les valeurs de z, dam les divers cas : i° quand u varie sur C, (por- 

 tion de C), V sur D, {portion de D), . . .; 2" quand u varie sur C^ (portion 

 deC),v sur Dj (portion de D); 'n/in quand u prend ses portions sur C,, v sur 

 D,', . . ., où i, i', . . . sont des nonbres entiers finis, les ensembles (C ^C... . .C,), 

 (D1D2. . .D,'. . .), ..., recouvran\ respectivement les contours C, D, ..., on aura 

 de la Jonction donnéeY (z) une représentation valable pour toutes valeurs de z, 

 par la formule 



F(=)=ïi;/"X*.- 



l^^ 



$., 



■'^k^h.i\...(u,v,...,w,y,z)dY. 



» Comme première application, supposons que l'on ait 



