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)) Voici deux exemples complets, pour lesquels nous avons choisi des 

 valeurs extrêmes pour B et / : 



Valeurs de la réfraction 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les séries de fractions rationnelles . 

 Note de M. Emile Borel, présentée par M. Picard. 



c( On sait que les séries de fractions rationnelles sont aptes à représenter, 

 dans tout son domaine d'existence, une fonction analytique uniforme 

 pourvue de singularités absolument quelconques. Leur importance dans la 

 théorie générale des fonctions paraît, de ce fait, devoir être considérable ; 

 mais elle est singulièrement diminuée par la proposition suivante, due, sous 

 sa forme la plus générale, à M. Painlevé : Etant donné un nombre quel- 

 conque de domaines, sans partie commune, dans chacun desquels est définie 

 une fonction analytique uniforme, on peut former une série de fractions ra- 

 tionnelles représentant chaque fonction dans le domaine correspondant. 

 D'ailleurs, bien entendu, le domaine naturel d'existence de chaque fonc- 

 tion peut s'étendre au delà du domaine dans lequel elle est représentée 

 par la série formée ; mais il n'y a plus aucun rapport entre la fonction et la 

 série. 



)) L'une des conséquences de la proposition précédente, c'est que, si 

 l'on convient d'appeler /3o/e5 d'une série de fractions rationnelles les pôles 

 des divers termes de la série, il n'y a aucune relation nécessaire entre les 

 pôles de la série et les points singuliers de la fonction qu'elle représente. Ce 

 mode de représentation des fonctions apparaît donc comme très défec- 

 tueux, précisément à cause de sa trop grande généralité. 



)) Dans le cas où l'ensemble des points singuliers est dénombrable, 

 M. Mittag-Leffler a montré que l'on peut trouver une série dans laquelle 

 ces singularités sont mises en évidence; ce mode de représentation, dans 

 lequel il ne subsiste que très peu d'arbitraire lorsque la fonction est don- 

 née, est évidemment très propre à mettre en évidence ses propriétés essen- 

 tielles. 



» Lorsque l'ensemble S des points singuliers de la fonction n'est pas 



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