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dénombrable, on ne peut évidemment songer à mettre en évidence tous ces 

 points dans une série; mais on peut se demander si, parmi les ensembles 

 dénombrables E tels que, E' désignant l'ensemble dérivé de E, E -v- E' coïn- 

 cide avec S, il n'en est pas un qui se distingue des autres par des propriétés 

 spéciales et qui constitue l'ensemble des vrais points singuliers de la fonc- 

 tion. Qu'il en soit ainsi dans certains cas, c'est ce qui résulte des recherches 

 que j'ai entreprises, depuis plusieurs années déjà, sur certaines séries de 

 fractions rationnelles, et dont j'ai exposé les principaux résultats dans ma 

 Thèse et dans mes Leçons sur la théorie des fonctions. Je voudrais indi- 

 quer ici quelques résultats nouveaux que j'ai obtenus dans le même ordre 

 d'idées et qui me paraissent, indépendamment de leur intérêt théorique, 

 être susceptibles d'assez nombreuses applications. 



» Considérons d'abord une série de fractions rationnelles simples : 



soit convergente; nous ne faisons aucune autre hypothèse; la distribution 

 des pôles a„ peut être absolument quelconque. 



)) Désignons par a un point quelconque du plan et par A un nombre ainsi 

 défini; si a coïncide avec l'un des pôles a„, on prendra A = Â„; si a ne 

 coïncide avec aucun de ces pôles, on prendra A = 0. Nous dirons que A 

 est le résidu def(z) pour s = a. Cette dénomination peut être justifiée par 

 l'étude de l'intégrale de/(:;) le long de certains contours, comme je l'ai 

 montré dans les travaux cités il y a un instant; mais voici une proposition 

 nouvelle. 



» Soit C un chemin quelconque aboutissant au point a et sur lequel la 

 série /(z) est convergente, sauf peut-être pour z = a; si le produit 

 (s — a)fÇz') tend vers une limite lorsque z tend vers a, cette limite est égale 

 à A. De plus, il existe effectivement des chemins C tels que le produit 

 (s — a)/(^z^ ait pour limite A lorsque z tend vers a en suivant ces chemins. 



» Les chemins C dont on vient de parler peuvent être obtenus d'une 

 infinité de manières. Par exemple, s'étant donné à l'avance deux axes ox. 

 oy, on peut prendre pour C une ligne polygonale dont les côtés sont alter- 

 nativement parallèles à ces deux axes; ces côtés sont généralement en 

 nombre infini, bien que la longueur de C soit finie. 



