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» Il n'est pas inutile de faire observer que la série f{z) ~ ^ _ peut 



être divergente pour z ^ a. 



» Considérons maintenant une série de fractions rationnelles 



(■■^) ^(^)-i;feT 



soit m^ le degré de R„(:); les zéros de R„(s), distincts ou non, sont dits 

 {&■?, pôles de /(s) ; nous supposerons que chaque pôle figure seulement dans 

 un nombre limité de termes (ce nombre, limité pour chaque pôle, peut ne 

 pas avoir de limite supérieure finie lorsque l'on considère les pôles dans 

 leur ensemble); nous supposerons, de plus, que, dans R„(z), le coefficient 

 de la plus haute puissance de z est égal à l'unité, et que les nombres in,^ ont 

 une limite supérieure m. On peut alors étendre aux séries (3), non seule- 

 ment le résultat que nous venons d'énoncer, mais la plupart des résultats 

 que j'ai obtenus antérieurement sur les séries (i) ; il y a lieu seulement de 

 remplacer la condition que la série (2) est convergente par des conditions 

 analogues : c'est-à-dire par des conditions où ne figurent que les coejjicients 

 des numérateurs V n{z) ; ces conditions dépendent d'ailleurs du nombre m. 

 Mais elles ne dépendent en rien de la distribution des pôles : cette distribution 

 peut être absolument quelconque. 



1) On remarquera que la série (3) peut fort bien vérifier ces conditions 

 dont nous venons de parler, alors que la série (i) obtenue par la décom- 

 position en éléments simples, ne les vérifierait pas; car les résidus 

 dépendent de la position respective des pôles qui figurent dans un même 

 dénominateur; les généralisations que nous venons d'indiquer ne peuvent 

 donc pas se ramener aux théorèmes antérieurs, par la décomposition en élé- 

 ments simples. 



» On peut obtenir des généralisations plus étendues en ne faisant plus 

 de restriction sur les degrés des R„(=)> ni sur la possibilité pour un même 

 pôle de figurer dans une infinité de dénominateurs; mais les conditions de 

 convergence qu'il faut imposer aux coefficients des numérateurs ne peuvent 

 plus alors être énoncées indépendamment des dénominateurs; ce qui est 

 une grande complication pour les applications. 



» Ces divers résultats sont en relation avec une généralisation de la 

 notion de fonction analytique, à l'aide de prolongements traversant des 

 lignes ou des aires dont tous les points sont singuliers, au sens de Weier- 

 strass. Mais c'est là cependant un sujet distinct de celui de cette Note; les 



