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 résultats nouveaux que j'y ai obtenus seront, si l'Académie le permet, 

 l'objet d'une prochaine Communication. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les caractéristiques des équations aux 

 dérivées partie/les et le principe d'Huygens. Note de M. J. Coklon, pré- 

 sentée par M. Jordan. 



« Dans l'un de ses derniers Mémoires, Hugoniot (' ) précise la notion de 

 propagation simultanée de deux mouvements dans un tluide indéfini. Sup- 

 posons qu'il s'agisse d'un mouvement défini par un système d'équations 

 aux dérivées partielles du second ordre et interprétons, dans la représen- 

 tation géométrique, le temps comme une variable. Soit S{x,y,z,t) une 

 surface séparant le corps en deux régions variables avec t, telles que dans 

 chacune d'elles les fonctions qui définissent le mouvement prennent sur S 

 les mêmes valeurs ainsi que leurs dérivées du premier ordre, mais soient 

 fournies par des développements analytiques distincts. Hugoniot admet 

 que de semblables mouvements peuvent se propager dans un milieu mdé- 

 fini et il donne le nom de surface d'onde à la surface de séparation. 



» Si l'on rapproche cette définition de la notion de caractéristiques 

 dans les équations aux dérivées partielles, il en résulte que la surface 

 d'onde est forcément une surface caractéristique. La possibilité de la pro- 

 pagation de deux mouvements revient à la démonstration de l'existence 

 de solutions prenant les mêmes valeurs sur une surface caractéristique, 

 ainsi que leurs dérivées du premier ordre. 



» L'application de cette remarque est fort simple dans le cas des équa- 

 tions aux dérivées partielles à coefficients constants. 



» Elle permet de définir les surfaces d'onde comme les enveloppes de 

 cônes dont les équations sont faciles à obtenir. La forme de ces surfaces 

 rend intuitives les propriétés de la propagation du mouvement. 



» Considérons, par exemple, l'équation 



(') Hugoniot, Mémoire sur la propagation du mouvement dans un fluide indé- 

 li (Journal de Mathématiques pures et appliquées, 4' série, t. III, p. 4/7' ^^ ^- ^^> 



fini (/< 

 p. i53) 



