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Yi étant un nombre fixe, indépendant de m, v, R. La série qui représente U 

 converge bien sur la circonférence C et y a la valeur zéro. 



y 3. Ces préliminaires posés, nous pouvons maintenant effectuer l'in- 

 tégration de l'équation (E) en procédant par approximations successives, 

 comme je le fais d'habitude dans ces questions. On considère les équa- 

 tions 



Au, = o, 



dui , du, ( . d- Il d'il 



Am, = a -j. Y- 0^ -\- cit., Am = -r— • -!- -T-T 



ax ay \ ox' ov- 



A«„ = a " + b " ' 4- cu„ 



dx dy 



On intègre la première équation, avec la condition que u^ prenne sur la 

 circonférence C de rayon R une succession continue de valeurs formant 

 une fonction /"(O) de l'argument 9, ayant des dérivées continues des deux 

 premiers ordres, et les autres u s'annulant sur C. Alors 



M, = 2flv cosvO -f- b,, sinv9, 

 où 



a, = (^)''m„ K = (0'n„ 



Mv et N^ étant les coefficients classiques de Fourier relatifs à la fonc- 

 tion f{^); on a donc, d'après les hvpothèses faites sur /(O), 



M.< , ^ ,, > N,< — !^ (R étant fixe). 

 » Par suite, avec nos notations de plus haut, nous pouvons écrire 



tous les a. étant nuls sauf le premier, et l'on a par conséquent 



(" + >r 



» Si l'on intègre alors la seconde équation avec la condition que «, soit 

 nul sur le bord, en posant comme plus haut 



Mo = 2(A,cosvO 4- B^sinvO). 



