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où Av et Bv sont de la forme 



^v / ,-2 /•■im \ 



Dv l Po,v ~t" P t ,v "gâ + • • • ' rm.v ^2^ "T- • • • ) > 



on aura les inégalités 



, _KriR_ 



» En passant de u., à «3, on aura de même des coefficients ayant pour 

 limites supérieures de leurs valeurs absolues 



et pour u„ 



K(r,R )«-',,„ 



» La convergence de la série 



U = «, + u^ + ...+ ?/„ -t- ... , 



est alors manifeste si R est assez petit pour que yi R •< i : la fonction U donne 

 la solution du problème. 



» De là résulte aussi que l'intégrale U est une fonction analytique de x 

 et y. Tout ceci n'est que, en précisant davantage et en entrant dans le 

 détail de la formation des termes, la démonstration que j'ai donnée autre- 

 fois (^Journal de l'Ecole Polytechnique, 1890) de ce théorème : 



» Toute intégrale de l'équation E, bien déterminée et continue dans une 

 certaine région ainsi que ses dérivées des deux premiers ordres, est une fonction 

 analytique. 



» 4. J'ai énoncé(Notes citées) que, dans toute aire m/eWeM/'e au cercle C, 

 les valeurs absolues des dérivées premières et secondes de U sont limitées 

 en fonction de la valeur absolue maxima de /(â). 



» Pour démontrer ce résultat, revenons à l'équation (i) du n°2, en sup- 

 posant que les coefficients a du développement de u satisfassent seulement 

 aux inégalités 



|a„,,|<Mr'«, 



M étant un nombre fixe. Si l'on fait la recherche de l'intégrale V, en se 

 plaçant au point de vue formel, c'est-à-dire sans se préoccuper de la con- 

 vergence sur la circonférence C, on trouve 



|[i„,J<M.r,i\.e^'". 



