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» Ceci posé, revenons aux approximations successives du n" 3. En dési- 

 gnant par M le maximum de |/(6)|, nous avons pour «, 



|a„,,|<2M.£-"', 



car Mv et Nv ont des valeurs inférieures à 2 M; donc, en passant de m, à «o, 

 on a 



et ainsi de suite. Il est alors facile d'avoir une limite supérieure des déri- 

 vées premières et secondes des u pour 



r<R3, 



& étant un nombre fixe, d'ailleurs quelconque, inférieur à l'unité. Les 

 séries formées avec les valeurs absolues de ces dérivées seront manifeste- 

 ment (dans l'hypothèse nR <^ i) limitées en fonction de M; donc, dans une 

 aire V intérieure à C, nous avons pour les valeurs absolues des dérivées 

 premières et secondes de U la limite supérieure 1 M, en désignant par), une 

 constante indépendante de la fonction /(6). 



» J'ai énoncé encore que la valeur absolue de U est limitée en fonction 

 de M dans le cercle C toul entier. Pour le démontrer, nous n'avons qu'à 

 remarquer que si R est assez petit, on peut avoir une intégrale z de l'équa- 

 tion restant positive et différente de zéro dans le cercle. Si l'on pose alors 

 U := ^V, on aura pour V une équation de la forme 



AY — a, ^ \-ù, -r-, 



mais nous savons qu'une intégrale de cette équation ne peut avoir dans C 

 ni maximum ni minimum; par suite, dans C, ona|V|<^M,, en désignant 

 par M, la valeur absolue maxima de V sur la circonférence. Donc enfin, 

 si m et Tn^ désignent respectivement le minimum et le maximum de |-| 

 dans C, on aura 



m 



|U|<^-M, 



M étant le maximum de |/(0)|; c'est ce qu'il fallait montrer. 



» Ainsi se trouvent démontrés les résultats que je n'avais fait qu'énon- 

 cer. Quanta l'étude du cas où/(0) serait une fonction supposée seulement 

 continue (et périodique, bien entendu), je l'ai faite assez explicitement 

 (^Comptes rendus, 19 février 1900) pour qu'il ne soit pas nécessaire d'y 

 revenir. 



