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» 5. Dans un de mes Mémoires sur les équalions aux dérivées partielles, 

 j'ai considéré particulièrement réquation 



,.. d^ u d'il On , du 



dans une région du plan où le coefficient r est négatif ou nul. Dans un 

 contour quelconque C, régulièrement analytique, une intégrale continue 

 est complètement déterminée par ses valeurs sur le bord, et j'ai démontré 

 l'existence de cette solution unique au moven d'un procédé d'extension 

 permettant de passer d'une aire à une aire plus grande, procédé qui 

 s'étend, d'ailleurs, à des équations non linéaires (^.Journal de Math., rSgS). 

 On peut cependant faire une objection à un point de la démonstration. 

 J'admets implicitement (voir p. 3oi, Journal de Mal h., 1896) la proposi- 

 tion suivante : 



» Étant donné un contour C on considère une succession de fonctions en 

 nombre infini 



"* > «2 * • • • * Ujf , ... 



vérifiant r équation (I), et telles que l'on ait 



u„\<i„ (surC), 



les £ étant des constantes pour lesquelles la série s, + jj + . . . + s„ + . . . con- 

 verge; la série 



U = a , + j/2 + •••-+-"«-!-••• 5 



évidemment convergente dans C, satisfera à l'équation différentielle (I). 

 » Après ce qui précède, il est facile d'établir en toute rigueur le théo- 

 rème précédent. Considérons, en effet, à l'intérieur de l'aire limitée par C 

 un petit cercle T; on a, dans r et sur r, 



I "«!<£«• 



» D'autre part, dans une aire intérieure au cercle r, les dérivées pre- 

 mières et secondes de «„ sont limitées en fonction de t„. On en conclut 

 que dans cette aire la fonction U a des dérivées premières et secondes 

 représentées par les séries des dérivées premières et secondes des u. Il est 



c. R., 1900, 1" Semestre. (T. CXXX, N» 17.) l/p 



