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mule (9) pour t ^= t^, donne 



puisque p, = p„ = A. On a d'ailleurs 



p, cos6, — po cosOo = 'X cosw, 



\ désignant la corde de la sphère d'activité qui va du point d'entrée Mo au 



point de sortie M,, et w l'angle de la direction M,, M, avec celle SP' de r . 



M On voit facilement que (V; — V^) est du second ordre; par suite, 



Jr'' 

 ' , en négligeant le déplacement de P', n'est que 



'° 

 du troisième. 



» 3. La comparaison des deux expressions (8) et (10) de (V^ — VJ) 

 donne, après suppression du terme commun 2K.-(^; — j 



(11) $, — $0= ^cosio— ^(cos^, — cosQ, 



ou le critérium de Tisserand complété par deux termes du premier ordre 

 en e' , — et quatre du second ordre en 0-, ee' , e%, e'S. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles d'ordre quel- 

 conque à points critiques fixes. Noie de M. Paix Painlevê, présentée par 

 M. E. Picard. 



« Considérons une équation différentielle d'ordre y, algébrique en r^, 



n-,, ,r? 2 et jKy_3, analytique en j,_<, • • • , r,. r, ^ [j , J^ désignant 



les dérivées i", . . . , q'^^"^" de y{x)\, soit l'équation 



(1) r;" + A, ( x,^, , . . . , V, , y, x)y"^-' + . . . 4- A„,(y,_,, . . .,y,,y,x) = 0, 



où les Aj sont des fractions rationnelles en r^_, , algébriques en r,_3 et j'^_3. 

 Les propositions que j'ai indiquées {Comptas rendus, 2 avril 1900) pour les 

 équations q --- 3, m = i, ont leurs analogues pour les équations (i) quel- 

 conques. J'énoncerai ici les plus simples. 



» Théorème. — Quand l'equation (i) a ses points critiques fixes : 



» I. La fonction algébrique/^ de j'^-i définie par (i), n'admet pas de pôles à dis- 

 tance finie, et si 7^-1 = ^'C 7^-2 , . . ., .i,x) est un de ses points critiques, l'équation 



