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différentielle r,_, r= °-, [d'ordre ((/ — i)],est une équation intégrale (singulière) de (i). 



De plus, quand j'j_, tend vers l'infini, les m valeurs du rapport —.f— tendent vers des 



limites finies ('), soit B( >',_,, . . . , y^, y, x), et chaque équation différentielle 

 yq^=^ yJi-i^ifq-ï, y^i^-iy ■ ■ ■ , y\, yoi ^d) <^ ^on intégrale uniforme; ce qui exige 

 notamment que l'équation du second ordre «"=et'-B(w) (obtenue en posant 

 y^_2=: u) ait son intégrale uniforme (-). 



» II. Il suit de là qu'o« sait déterminer explicitement toutes les formes possibles 

 des expressions B(y^_2). Ces expressions n'ont que des pôles simples, et les valeurs 

 de y,i (regardées comme fonctions de Yq-i) n'admettent que des pôles simples, qui 

 coïncident avec ceux des B. 



» En outre, si l'on remplace, dans (i), y,, par Vjj )'^_i par " ^.^ > /?— 2 par "■~i~^> 



A * A" A 



le premier membre de (i) admet X =: o comme pôle d'ordre 3m exactement; autre- 

 ment dit, l'équation (i) peut s'écrire 



(2) ^[j;;' + C(7,_., ...,j„j,.r) + x(...)] = o. 



» III. Il est loisible d'écrire l'équation (i) sous la forme P (y^, _yy_i, j)'^-,) = o, 

 où P est un polynôme en y^, JK7-1 et /ï-^» analytique en x, y, . . . , yq-z. Il résulte 

 de (1) et de (II) que le degré de P en y^ limite son degré en yq-\ et yq--i- 



» IV. Si l'équation (i) est mise sous forme irréductible en yq, yq-i, ses coeffi- 

 cients sont des fonctions algébriques de Vq-i qui s'expriment rationnellement à 

 l'aide de yq—i et d'une irrationnelle en yq-i- Celte irrationnelle est de genre zéro ou 

 un {x, y, . . . , yq-3 figurent analj'tiquement). 



» V. Appelons enfin simplifiée de l'équation (i) l'équation 



(3) j;;' + C(y^_,, r,_,, j,_3,y»_j, . . . ,y%y„, x„) = o, 



déduite de (2) en faisant X = o et en donnant à i'y-4, . . ., y, x des valeurs numé- 

 riques. Cette équation a son intégrale générale uniforme, ce qui exige notamment 

 que l'équation du troisième ordre obtenue en posant rj_3 m ;, à savoir l'équation 



(4) z'- + C{z",z',z)^o, 



ail son intégrale uniforme. Cette équation (4), ne changeant pas quand on change x 

 en ax H- b, équivaut à un système : 



dl 



et les conditions (I) montrent que l'équation en u {z) a ses points critiques fixes. 



(') Les Ai sont, par suite, des polynômes en yq-i de degré 2i au plus. 



(") Le théorème I suppose seulement que y^ est algébrique en yq--2, et les théo- 

 rèmes II, III, IV, V subsistent si y^ est algébrique seulement en y'q-i et yq—ï, à cela 

 près que, dans le système (5), R, a, p, ^ ne sont plus nécessairement algébriques 

 en z. 



