( '"4 ) 



L'équalion (4) se laisse donc remplacer par un système : 



R désignant une fonction algébrique de z, rationnelle en c (ou en v et y/4 c' — g^c — ff^ 

 dans le second cas); a, p, y sont algébriques en s, et ff^, g^ sont les constantes numé- 



I iques. 



» Un problème préliminaire s'impose donc : « Délenniner loiis les systèmes (5) 

 tels que les fonctions z{x) définies par le système soient uniformes. » Ces systèmes 

 (5) définissent notamment les fonctions automorphes. 



» Cas où Yg est rationnel en jy_, et Y,,—j. — L'équation (i) peut alors 

 s'écrire 



(G) r, = Mj^_, + Nr,_, + P; 



M coïncide nécessairement avec une des expressions 



I 



n 1 I /' I I 



jy_2+fl' yy_2+«' 2\y,/_2+<7 J7-2- 



(/? entier + ou <^'2 — q, a et h fonctions de j'y.^,, . . . , y, x). expressions 

 auxquelles il faut joindre 



II ?, I ^11 3 I -- ^ 

 1- ô r pour 0^7, h 7- r pour (7 5 0, 



,1 5 I 2 





pour y =: 4. 



J'ai traité antérieurement les cas de </ = 3 et y = 2. 



» De plus, N et P ont même dénominateur (en J^^.) q"e M et le degré 

 de leur numérateur surpasse au plus d'une unité (pour N) et de trois 

 unités (pour P) le degré (2, i ou zéro) de leur dénominateur. Les condi- 

 tions nécessaires que donne la méthode sont d'ailleurs loin d'être épui- 

 sées. Insistons seulement sur la suivante : écrivons l'équation (6) sous la 

 forme 



J <y-2 I - 



H, K. T> ne dépendant ni de r^ ,, ni de r^ .. et e. £,, Sj tendant vers zéro 

 avec -^ ; Hseei — ' - n entier -+- ou , ou H e^ 1 . Par définition, la 



1,-2' L^ " _ J 



simplifiée de l'équation (6) est l'équation 



(7) z"'=^h(z)+z"z'k(z) + ,'U(z\ 



di-^y 

 dxi-^ ' 



