( ii'5 ) 

 où h, Ix, l sont les fonctions algébriques de z obtenues en remplaçant 



(dans H, K, L) 7y_:, par z et y^.^ y, x par des valeurs numériques. La 



première équation (7) équivaut au système 



'^^ 7^=^" ' rf^--^(^^)rf^-;r^'(-'^"---«' [«entier-^, -ou- 



» Dans l'étude des équations (6) à points critiques fixes, un problème 

 préliminaire s'impose donc : Déterminer tuas les systèmes (8) te/s que les 

 fonctions z(^x) définies par {^) soient uniformes. Pour qu'une équation (8) 

 puisse être la simplifiée d'une équation (6) (à points critiques fixes), il faut 

 de plus que s (a;) soit la dérivée Çq — 3)* d' une fonction uniforme. 



» Enfin, les coefficients de (6) (qui sont algébriques en y^^j) se laissent 

 exprimer birationnellement à l'aide de y^_^ et d'une irrationnelle Z( v'^_3) 

 \x, y, ..., j^^, figurant analytiquementj. Si l'équation (6) a ses points 

 critiques fixes, le genre de l'irrationnelle Z est au plus égal à i, ou bien les 

 singularités des fonctions un formes s(.c) définies par (S ) forment un ensemble 

 parfait. 



» Les fonctions automorplies (fuchsiennes et bleinéennes) forment la 

 classe principale de transcendantes uniformes définies par un système (8). 

 Il est bien intéressant de voir ces transcendantes remarquables jouer, dès 

 le début, un rôle fondamental dans la détermination de toutes les équa- 

 tions (6) à points critiques fixes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la généralisation du prolongement 

 analytique. Note de M. Emile Borel, présentée par M. E. Picard. 



« Considérons une fonction F(a7) de la variable réelle a-, possédant 

 des dérivées de tous les ordres dans un intervalle AB (qui peut s'étendre 

 jusqu'à l'infini). Désignant par a un point quelconque de cet intervalle, 

 nous poserons 



G„(^, a) = g-„(^, a) = F(a), 



G„(^, a) = g^^ç, a) — g„^,(l, a) n > o. 



Nous dirons que la fonction F(.r) est une fonction (M) dans l'intervalle AB 



\ 



