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si, quels que soient x et a dans cet intervalle et quel que soit l'entier po- 

 sitif on nul h, on a 



11=0 



et si, de plus, chacune des séries que l'on obtient dans !e second membre, 

 en donnant à A et à « des valeurs fixes, est absolument et uniformément 

 convergente, pour toute valeur de x comprise dans un intervalle déter- 

 miné quelconque intérieur à AB. 



» Cette définition s'étend d'elle-même à une fonction de la variable 

 complexe z ('non nécessairement monogène) définie sur un segment recti- 

 ligne AB situé d'une manière quelconque dans le plan. 



)) Qu'il existe des fonctions (M), c'est ce qui résulte immédiatement 

 d'un théorème de M. Mittag-Leffler qui, avec nos définitions, peut s'énon- 

 cer ainsi : 



M Étant donnée une fonction analytique f(z) et un segment rectiligne AB 

 dont aucun point (sauf peut-être les extrémités), n'est singulier pour f(z), les 

 valeurs de f(z) sur AB définissent une fonction (M). 



» Le théorème que nous venons de rappeler a, d'ailleurs, été obtenu 

 par M. Mittag-Leffler comme conséquence de la théorie du prolongement 

 analytique et, par suite, au point de vue de la théorie générale des fonc- 

 tions, ne renferme rien de plus que cette théorie. 



» A l'aide des principes que j'ai indiqués dans mon Mémoire sur les 

 séries divergentes (' ), couronné par l'Académie en 1898, et que j'ai dé- 

 veloppés dans l'Addition à ce Mémoire (^), on peut obtenir un résultat 

 sur lequel je me permets d'attirer l'attention : il existe des fonctions F (x) 

 qui sont des fonctions (M) dans un intervalle AB, sans être analytiques dans 

 cet intervalle. 



» Pour donner un exemple d'une telle fonction, posons, m étant entier, 



le nombre des exposants superposés étant m, et 



^ ■ ^ Jaid ^ti . I- p+qi 



-. 1 /..= -« 7 = - 



v'â- 



( ' ) Annales de l'Ecole /Vormale, p. 63; iSgg. 

 C) Ibid. 



