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" Il est aisé de démontrer que la fonction 'P(x), qui nVst analytique 

 pour aucune valeur de x, est une fonction (M) sur tout l'axe réel. 



') On peut, dès lors, construire une théorie qui comprend comme cas 

 particulier la théorie de Weierstrass et qui est certainement plus générale, 

 puisqu'on connaît effectivement des cas nouveaux dans lesquels elle s'ap- 

 plique. Je vais tâcher d'en esquisser les traits essentiels, la brièveté de 

 cette Note m'obligeant à omettre bien des détails. 



» Il résulte de la définition même qu'une foncîtion (M ) ne peut être 

 nulle en un point, ainsi que ses dérivées, sans être nulle dans tout l'inter- 

 valle AB; une fonction (M) est donc complètement déterminée par la 

 connaissance de sa valeur et de celles de ses dérivées, en un point a. Cet 

 ensemble de valeurs constitue ce que l'on peut appeler un élément de 

 fonction (M). Réciproquement, étant donnée une suite de nombres, la 

 question de savoir s'ils déterminent effectivement une fonction (M) sur 

 une droite donnée se ramène à l'étude de certaines séries. Au point de 

 vue des applications, il serait désirable de simplifier la solution de cette 

 question; mais les longueurs pratiques de la solution qui se présente 

 immédiatement n'ont pas d'importance théorique, pas plus que la valeur 

 de la théorie de Weierstrass n'est liée à la connaissance d'un critère plus 

 ou moins simple de la convergence des séries de puissances. 



)) Cela posé, donnons-nous un pointa et une suite de nombres F(a), 



F'(a), F"(a) Si nous considérons toutes les droites passant par le 



point a, il peut arriver que la suite donnée définisse une fonction (M) sur 

 certaines de ces droites; nous dirons alors que cette suite constitue un élé- 

 ment de fonction (M), fonction qui se trouve ainsi définie sur certaines 

 droites issues du point a. Sur l'une de ces droites, prenons un point quel- 

 conque b\ on pourra rechercher si les valeurs F(è), F'(6), . .. définissent 

 une fonction (M) sur des droites issues de b et autres que ab; on définira 

 ainsi la fonction (M) en des points de plus en plus nombreux. 



» La fonction (M) ainsi définie sera dite uniforme dans une région du 

 plan, si, en l'un quelconque c des points où elle est définie, la suite des 

 nombres F(c), F'(c), F"(c), . . . est la même sur n'importe quel chemin. 

 Il existe effectivement des fonctions (M) uniformes ; telle est la fonction ^(^x) 

 définie plus haut; il y aurait lieu de les étudier tout d'abord, car, dans le 

 cas de non-uniformité, il peut se présenter des complications bien plus 

 grandes que pour les fonctions analytiques. 



-> Etant donnés une fonction (M) uniforme dans un domaine D et un 

 tlomaine D' d'un seul tenant intérieur à D, si cette fonction (M) prend, ainsi 



c. B., 1900, 1" Semestre. (T. CXXX, N" 17.) 1^5 



