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ANALYSE MATHÉMATIQUE. - Sur une relation entre la théorie des groupes 

 continus et les équations différentielles à points critiques fixes. Note de 

 M. Paul Painlevé, présentée par M. Appell. 



« Je voudrais indiquer dans cette Note un théorème relatif aux groupes 

 continus finis, théorème qui établit une relation intéressante entre la 

 théorie de ces groupes et les équations différentielles à points critiques fixes. 



» Soient (j, , y.^, .... j„+, ) les coordonnées d'un point de l'espace 

 à (n -+- 1) dimensions, et soit 



(S) S(y,,...,y„^,,x) ^o 



vme surface algébrique de cet espace, dépendant ou non du paramètre x. 

 Soit, d'autre part, 



(G) yi=Ri(Y,, ...,Y„^,,x,a,b, ...,l) [i = 1,2, ... (n -h i)] 



un groupe continu fini de transformations birationnelles de S, groupe qui 

 dépend analytiquement de x { ' ). Le théorème que j'ai en vue s'énonce 

 ainsi : 



» Les coefficients des fractions rationnelles R^ en Yj, ..., Y„^_, sont des 

 fonctions de x dont toutes les singularités ( non polaires) sont fixes (indépen- 

 dantes des paramètres a,h, . . .,1 du groupe G). 



» En particulier, la surface S peut se réduire au plan r,,^., = o, et le 

 groupe G est alors un groupe de transformations de Cremona de l'espace 

 à n dimensions. 



» Plus généralement, considérons un groupe continu fini de transfor- 

 mations algébriques dans l'espace à n dimensions, soit 



(G') j,.= p.(Y ,Y,„a-,a,b, ...,l), (i = i, 2, ..., n) 



groupe qui dépend analytiquement de x. Les fonctions p,, regardées comme 

 fondions de x, n'ont comme points singuliers non algébriques que des points 

 fixes, et elles n'acquièrent, autour de leurs points critiques mobiles, quun 

 nombre fini de valeurs. 



« Considérons maintenant un système quelconque de n équations diffé- 



(') J'entends par là que, pour chaque valeur de x, les équations G définissent un 

 groupe de paramètres a, b, ..., l. 



