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 rentielles du premier ordre : 



(') ^5 =/(7.' •••'J'«.^). («"-=1,2 «). 



et supposons que ce système admette le groupe de transformations (G i : si 

 ce groupe est transitif, le système (\') a ses points critiques fixes. 



» Si G esl intransitif et transforme un point donné en une multiplicité 

 à (« — q) dimensions, le système (i) peut être remplacé par un système 

 différentiel d'ordre (n — q) à points critiques fixes, dont les coefficients 

 dépendent d'une équation différenlielle d'ordre q. 



)) Un théorème analogue s'applique si le système (i) admet le gronpe(G'). 

 Lorsque le groupe (G') est transitif, le système (i) seramêne algébriquement 

 à un système de même ordre à points critiques fixes. 



» M. Picard a déjà considéré le cas où le système (i) admet un groupe 

 transitif (G) de transformations de Cremona indépendantes de x. Le théo- 

 rème énoncé sur le système (i) est alors intuitif, mais [si (i) est algébrique] 

 l'intégrale générale de (i) renferme ses coDslanles algébriquement, et se 

 ramène par suite algébriquement aux transcendantes définies par les équa- 

 tions linéaires ou aux fonctions abéliennes dont les arguments sont rem- 

 placés par des quadratures en ce. En est-il encore ainsi quand les transfor- 

 mations (G) renferment a;? On serait tenté de le croire : il n'en est rien. 



» La chose est vraie toutefois pour le premier ordre : si une équation 

 F (y', y, œ) = o, algébrique en y', y, admet un groupe (G) ou (G'), son 

 intégrale y{x) ne prend qu'un nombre fini de valeurs autour des points 

 critiques mobiles et, par suite, dépend algébriquement de la constante. 

 Inversement d'ailleurs, si l'intégrale de l'équation F = o n'acquiert qu'un 

 nombre fini de branches autour des points critiques mobiles, l'équation ou 

 bien s'intègre algébriquement ou bien admet un groupe (G'). 



» Ces deux propositions cessent, l'une et l'autre, d'être exactes dès que 

 l'ordre différentiel dépasse l'unité. Il existe, notamment, des équations diffé- 

 rentielles du second ordre, algébriques par rapport à tous leurs éléments, 

 qui admettent un groupe transitif ((^i) et dont l'intégrale est une fonction 

 transcendante des deux constantes (de quelque manière qu'on les choisisse^. 

 Considérons, par exemple, l'équation connue du second ordre que vérifie la 

 fonction y = sn(G,o)| -i- Citu^); x =■- h' est le module de la fonction sn, 

 et tO|(.r), Wo(a;) sont les demi-périodes de sn ; C, et C^ désignent deux 

 constantes arbitraires. La fonction r(a'^ ainsi définie a ses points critiques 

 fixes, et j'ai montré qu'elle renferme /e5c?e«a; constantes sous forme essen- 



