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 tiellement transcendante : d'autre part, l'équation difïérentielle simple que 

 vérifie y (a) admet le groupe transitif 



_ Ycn.^dn^.((?(o, + 6ais) + y/Çi — Y^ )(i — a; Y" )sn^(fla)| + bi^, ) 

 y I — xsnl.{al^)^-\- bM,)\''' 



groupe de transformations biralionnelles de la courbe (du plan des y, z) : 



» I.e ihéoi èm.j énoncé dans cette Note permet donc de former des sys- 

 tèmes ( I ) à points critiques fixes dont l'intégrale est une Jonction essentiellement 

 transcendante de toutes les constantes. Comme types de tels systèmes (d'ordre 

 quelconque\ je citerai /e^ équations différentielles algébriques {faciles à for- 

 mer) que vérifient les fonctions abéliennes (ou dégénérescences) regardées 

 comme fonctions d'un quelconque de leurs modules. 



» Tout système (i) qui admet un groupe transitif (G) ou (G') peut 

 d'ailleurs s'intégrer à l'aide d'une équation différentielle linéaire : j'entends 

 que la recherche de ses intégrales premières se ramène {d' une façon plus ou 

 moins compliquée ) à l'intégration d'une équation linéaire ordinaire. Il en est 

 encore ainsi si, au lieu d'un groupe G', on considère un groupe 



(G") J,-=?,<Y ,Y„,X,a, />,...,/), (Y=r,2,...,n), .x=<^(X,a,b, ...J), 



(p(X) étant quelconque : mais (lors même que les p, sont rationnels en 

 Y,, . . ., Y„) le système (i) n'a plus alors en général ses points critiques 

 fixes. L'exemple des équations dont l'intégrale générale est de la forme 



y = y ( ; I suffit à le montrer. 



» On peut observer toutefois que, si y est le nombre des constantes dis- 

 tinctes qui figure dans la transformation x = 9(X), j est au plus égal à 3. 

 L'intégration de (i) se ramène algébriquement à l'intégration d'un système 

 d'ordre (n —j) à points critiques fixes, dont les coefficients dépendent 

 d'une équation différentielle d'ordre /'. 



)> Je terminerai par une dernière remarque : si les transformations 

 de (G) sont non pas birationnelles, mais biunif ormes, les coefficients de ces 

 transformations sont des fonctions de x à points critiques fixes, mais qui peu- 

 vent admettre des singularités essentielles mobiles. Quand un système (i ) 

 admet un groupe transitif (G) de transformations biunif ormes, c'est donc 

 un système à points critiques fixes. » 



