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 [( f étant continue sur to avec ses deux premières dérivées (')] les fon( - 



lions suivantes : 



(3) 



( Wy = Wj+, -+- Wj à l'extérieur de o>. 



( W, 



î,v. - mi. 



a 1 intérieur de w. 



on peut écrire les solutions de M. Neumann 



pe 



- V Wy à l'extérieur de w 



et 



- 7 (— iV^' W, à l'intérieur de w. 



« Comme on a les relations 





r 



(y = 2. 3,...), 



la série des W^ est une série de Robin et convergente d'après le premier 

 raisonnement. 



» Le premier raisonnement est l'œuvre incontestée de M. Poincaré ; dans 

 la Note du 6 mars 1899 M. W. Stekioff en a donné une démonstration 

 nouvelle, mais on v chercherait en vain les traces du deuxième raisonne- 

 ment pour démontrer la convergence de la série de M. Neumann. Dans 

 mon Livre j'ai modifié aussi un peu la démonstration de M. Poincaré pour 

 des raisons faciles à deviner pour ceux qui auront parcouru tout le Livre. 



» Ce n'est que par le deuxième raisonnement que j'ai réussi à modifier 

 la méthode de M. Poincaré de juaniére à la rendre indépendante du prin- 

 cipe de Dirichlet. En constatant dans ma Note du 26 février que la démon- 

 stration de M. W. Stekioff pour la méthode de M. Neumann est à peu prés 

 la même que la mienne, j'ai voulu dire que cette partie essentielle se re- 

 trouve dans la démonstration de M. W. Stckhiff, tout en admettant qu'il y 

 a une différence dans bien des détails. 



» M. W. Stekioff a fait aussi une remarque relative à ma proposition 

 de remplacer sa condition 4" (du 6 mais 1899) par la condition que la 



(') On peut remplacer la oonliiiiiilé ries deuxlèiuei dérivées par des roiiditidiis un 

 peu plus générales. 



