( '2'j2 ) 



OÙ /• est un paramètre variable. C'est l'équation qu'on est amené à consi- 

 dérer quand on étudie les vibrations des verges élastiques. 



» Le théorème établi dans une Note précédente (p. G92 de ce volume), 

 permet d'établir très simplement l'existence d'une suite infinie de 

 quantités 



A", , K.y, .... A„, ■ ■ . 



toutes positives, croissantes et telles, de plus, que l'équation 



(■^) 



^ = X-„o(^).v 



admet une intégrale tangente à Oa? en a et h, et s'annulant (« — 1 ) fois 

 entre a et h. Ces quantités sont les racines d'une fonction entière. Dans ce 

 qui va suivre nous déterminerons Xemode de croissance deA„. Le théorème 

 suivant est fondamental : 



)) Soil y„ l'intégrale de l'équation 



d'y / N 



tangente à O ce en a et ù„; si z„ est l'intégrale analogue {tangente en a el bj 

 de l'équation 



ou 



on aura 



<L(a;)>/_(a.-)>o (deaàb„) 



ab\,<^ab„. 



» Je ne donnerai pas ici la démonstration de ce théorème qui demande, 

 pour une parfaite rigueur, des développements un peu étendus; je ierai 

 remarquer simplement qu'd suffit de l'établir pour nn& variation infiniment 

 petite de x.(^), en faisant voir en même temps que le nombre de zéros reste 

 le même. 



» Ce théorème joue, dans cette théorie, le rôle (pie le théorème de 

 Sturm joue dans la théorie des équations luiéaires du second ordre cpi'on 

 rencontre en Physique mathématique. 



» Cela étant, pour ré(piation 



d' y . , ., 



(C = const.). 



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