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)) Appliquant cette remarque à l'étude de la formule d'Euler (^Introd. in 

 anal, infin., t. I, Cap. 15), je pHrviens, dans un Mémoire inséré ;iux Acta 

 mathematica (sous presse), à des formules nouvelles pour la fonction /(ir) 

 de Riemann et pour des fonctions numériques analogues. 

 » Parmi les formules ainsi obtenues, je citerai la sui\'anie : 

 )i Soil X un nombre positif donné (no/i e/Uier); désignons par 0(\r ) la 

 somme des logarithmes naturels de lotis les nombres premiers <^x el posons 



'l{x)--=^ (x) H- 6 iJ" t -H (;r',) -t- . . . 

 ij{x) = - lim 2 ^!-,— a:"V.(w), 



on aura 



Z (i") désignant la dérivée logarilhmujue de la Juiiclion C {s) de liieinann. 



') Décomposant les fonctions Z(('5) en éléments sim[)lcs, d'après le 

 théorème fondamenlal de M. Hadamard (^Journal de Mathématiques, iHc).'^). 

 j'en déihiis, après quelques calcids intermédiaires qui sont d'ailleurs d'une 

 nature tout élémentaire, une formule asymplolique qui peut s'écrire 

 sous la torme sui\anle : 



^ (x) = X -h-ri. 



ou 1 on a 



\<^^ 



sa-P 



k désignant une constante, s désignant un nombre satisfaisant à la condition 



et la somme ip étant étendue à toutes les racines imaginaires de la fonc- 

 tion ^(i). 



)) Admettons maintenant, avec Riemann, que la partie réelle Rp de cha- 

 cune des racines p soit =-( '). 



w On a alors (pour x^ \ , s^^x') 

 1 



\xP\=x\ S<C_-2\s—^\, |5-p]>|p|, 



( ') M. Jensen, qui assure être en possession d'une démonsliation rigoureuse de ce 

 théorème (voir Acta math., t. XXII, p. 364), publiera procliainemeul cette démon- 

 stration dans les Acta. 



