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 d'où 



T désignant un nombre positif si petit qu'on le veut. Donc, prenant pour 5 

 la valeur s = x^, on voit que |i»i|, |)our les valeurs croissantes de ar, ne 



pourra être infini d'un ordre supérieur à x- ; d'où le résultat suivant : 



» La différence \ 4'(^) — x\est d'un ordre inférieur à x^' , i désignant un 



nombre positif si petit qu'on le veut ( pourvu que Rp = - )• 



I 



» Comme la dillérence ^{x^ — ^(^) ^■''*^ ^^'^ l'ordre de r', il en résulte 

 que l'énoncé précédent s'applique aussi à ^{x) ('). 



» De ce théorème on déduit immédiatement, en le combinant avec une 

 formtde «le M. de la Vallée-Poussin (/oc. «V.. p. 6o), que la différence entre 

 la fonction y(a;) de Riemann et le logarithme //i^e'^ra/ Li(j?) est d'ordre 



inférieur à x^ ; d'où enfin le résultat suivant pour la fonction F(a:) qui 

 exprime combien il v a de nombres premiers <^ x : 



» Si Rp = -pour tous les zéros imaginaires de '(.{s'), U est certain que l'er- 



I 



2 



reur commise en posant 



¥{x)^U(x) 



est d'ordre inférieur à a.' , e désignant un nombre positif aussi petit quon le 

 veut. 



» Je dois à M. Phragmén la remarque suivante : La différence 



F(a;;) - U{x) 



i__ 

 ne sautait être d'ordre inférieur à x'- , e étant positif et arbitrairement petit ; 



(') On sait que M. lladamard et M. de la Vallée-Poussin ont établi, simultanément, 

 que la difTéience | 6(.r ) — x | est d'ordre -< x. Plus tard, M. de la Vallée-Poussin, dans 

 ses recherches Sur la fonction î(.s), etc. (Biuxelles, 1899), a trouvé une limite supé- 

 rieure, d"ordre beaucoup pbis petit, pour cette dilTérence ; dans rii\polhèse Rp= -, 



3 

 celte limite est d'ordre < .r' [voir loc. cit., formule (17) p. 53 |. Ce dernier résultat 

 coïncide avec celui trouvé par Stieltjes par une autre méthode {Comptcx rendus. 

 t. CI, p. 368). 



C. K., 1900, i" Semestre. (T. CXX.\, N° 19.) '02 



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