( T29-'5 ) 

 en traçant sur le plan - des coupures allant de chaque point singulier 

 dey(3) à l'infini le long du rayon vecleur du point singulier considéré. 

 Supposons qu'on ait autour de l'origine 







)) L'intégrale de Cauchy, combinée avec le résultat précédent, montre 

 que "S a„s"e"'' tend vers /(s) quand l tend vers zéro, pourvu que z reste 







dans T'. 



» La série '^ ca^z" (ainsi que ses dérivées ou intégrales) est donc sommable 







dans tout le domaine T et a pour somme /(-). Ainsi se trouve obtenu le pro- 

 longement de f(z) dans tout son domaine naturel d' existence. 



» La méthode précédente permet d'attribuer une somme bien définie à 

 toute série divergente de module fini. Rien n'empêche de l'appliquer aux 



ao 



séries entières toujours divergentes, pourvu que V a„^"e~"'' soit une fonc- 







tion entière. 



» IV. Revenons à /(s). On peut la représenter avec une approximation 



quelconque, dans T', par y «nS^e""''; en limitant cette dernière série con- 



venablement, on peut lui substituer un polynôme en :;. Donc, dans tout 

 domaine intérieur à T', f{z) est représentahle par une série absolument et uni- 

 formément convergente de polynômes. On retrouve ainsi de la façon la plus 

 simple un théorème récemment établi par M. Mittag-Letfler. 

 » V. D'une façon générale, les expressions divergentes 



Vm^, f n{.v)dx 

 peuvent être définies en étudiant la limite pour ï = o de 



Je reviendrai prochainement, si l'Académie le permet, sur cette double 



