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théorie des séries divergentes et des intégrales divergentes, en même temps 

 que j'exposerai d'autres applications des mêmes principes. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la représentation des fonctions non uni- 

 formes. Note de M. L. Desaint, présentée par M. Picard. 



i( Je m'appuie sur la proposition suivante : 



)> Une fonction à point de non-uniformité unique, confondu avec l'origine, 

 admet à l'intérieur d'un cercle C de rayon r inférieur à l'unité, tel que f(^z) 

 n'ait pas d'autres discontinuités à son intérieur, le développement en série 



(0 /(^)=2A„fi-^ — j-î— y. 



> ■' J\ ^ "\logs alogr/ 



» Aux déterminations multiples de logz correspondent les déterminations 

 multiples de la fonction. 



» Ce résultat, dû à M. Picard, appelle l'attention sur le problème sui- 

 vant. Partons, a priori, d'un développement tel que (i); nous supposerons 

 la fonction /(s) connue seulement par ce développement; c'est donner la 

 fonction avec un minimum de connaissance qui se confond avec l'ensemble 

 dénombrable — A„. Si nous savons d'avance que l'origine est l'unique 

 point de non-uniformité, nous appellerons le développement précédent 

 Vêlement fondamental de non-uniformité, parce que de ce développement 

 dérivent toutes les branches de la fonction. 



» Précisons encore, et posons le problème que nous avons en vue et qui 

 s'énonce ainsi : 



« La fonction f(:-) étant analytique, à point de non-uniformité unique 

 confondu avec l'origine et connue seulement par son élément fondamental 

 de non-uniformité, déterminer la fonction cj telle que l'on ait pour toutes 

 valeurs de z du domaine d'existence de la fonction _/(s) et pour toutes les 

 branches de celle-ci 



» Pour résoudre ce problème, je m'appuierai sur un théorème que je 

 signale en passant comme application de la méthode générale dont j'ai 

 expliqué le procédé aux débuts de ma Note du 9 avril 1900. 



» Soit f{z) une fonction uniforme donnée à l'intérieur d'une aire par un 

 développement en série 



f=lA„<^"(z) 



