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zéro. L'équation (i) devient alors l'équation de Laplace, et une singula- 

 rité d'une fonction V sur la surface en un point pourra être définie par 

 une singularité d'une fonction harmonique en un point d'un plan. Parmi 

 ces singularités, une des plus simples est la singularité logarithmique, où 

 la fonction harmonique devient infinie comme A logr; à un tel point sin- 

 gulier sur le plan correspond sur la surface un point singulier d'une na- 

 ture bien déterminée. 



» Il est tout d'abord immédiat que l'équation (i) ne peut admettre d'in- 

 tégrale uniforme et continue sur toute la surface, en dehors de Y = consL. 

 On doit donc, si l'on veut ne considérer que des fonctions V uniformes 

 sur toute la surface, leur donner certaines singularités. Une singularité 

 logarithmique ne peut être unique; il peut y avoir deux singularités de 

 cette nature et les coefficients A correspondants doivent être égaux et de 

 signe contraire. L'existence d'une solution V de l'équation de Beltrami 

 (solution définie à une constante près) se déduit des travaux de M. Schwarz; 

 on peut employer avec l'éminent géomètre un procédé d'exhaustion sous 

 une forme qui nécessite un lemnie assez délicat relatif aux fonctions har- 

 moniques. 



» Au point de vue physique, le problème que nous venons de rappeler 

 est celui de l'équilibre calorifique d'une surface fermée, sans rayonnement 

 et sur laquelle se trouvent deux sources de chaleur. La condition rela- 

 tive aux A revient à ce fait que les flux aux deux sources doivent être 

 égaux et de signes contraires. 



» 2. Tout ceci est bien connu, je l'ai rappelé seulement pour préciser 

 les conditions du problème auquel j'arrive maintenant. Supposons qu'il 

 puisse y avoir rayonnement vers le dehors que l'on suppose à la tempé- 

 rature zéro. Au lieu de l'équation de Beltrami, nous aurons alors, dans le 

 cas de l'équilibre calorifique, l'équation suivante pour la température V, 



/ \ a \ ou dv \ d \ au ôv \ ,, , 



k^ étant, pour prendre le cas le plus générai, une fonction positive. 



» Si l'on fait, dans le voisinage d'un point de la surface, la représenta- 

 tion conforme indiquée plus haut, l'équation devient 



/o'N «^'V 0'\ ,2 ,, 



